微积分学示例

$f (x) = \sqrt{4 x + 36}$ ; $x = 0$

解题步骤 1

求 $x = 0$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = \sqrt{4 (0) + 36}$

解题步骤 1.2

化简 $\sqrt{4 (0) + 36}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$y = \sqrt{0 + 36}$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 和 $36$ 相加。

$y = \sqrt{36}$

解题步骤 1.2.3

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$y = \sqrt{6^{2}}$

解题步骤 1.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = 6$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 6$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x + 36}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 9}]$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $4 x + 36$ 重写为 $2^{2} (x + 9)$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 36}]$

解题步骤 2.1.1.2

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 4 (9)}]$

解题步骤 2.1.1.3

从 $4 (x) + 4 (9)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x + 9)}]$

解题步骤 2.1.1.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x + 9)}]$

解题步骤 2.1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 9}]$

解题步骤 2.2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 9}$ 重写成 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 9$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 9$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

解题步骤 2.3.3

使用 $x + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

解题步骤 2.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

解题步骤 2.8

化简项。

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解题步骤 2.8.1

将负号移到分数的前面。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

解题步骤 2.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9])$

解题步骤 2.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

解题步骤 2.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

解题步骤 2.8.5

约去公因数。

$\frac{2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

解题步骤 2.8.6

重写表达式。

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

解题步骤 2.9

根据加法法则， $x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.11

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

解题步骤 2.12

化简表达式。

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解题步骤 2.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 2.12.2

将 $\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.13

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$\frac{1}{{((0) + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.14

化简分母。

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解题步骤 2.14.1

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.14.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.14.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 2.14.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.14.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 2.14.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{3^{1}}$

解题步骤 2.14.5

计算指数。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $\frac{1}{3}$ 和给定点 $(0, 6)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (6) = \frac{1}{3} \cdot (x - (0))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 6 = \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $\frac{1}{3} \cdot (x + 0)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - 6 = \frac{1}{3} \cdot x$

解题步骤 3.3.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$y - 6 = \frac{x}{3}$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$y = \frac{x}{3} + 6$

解题步骤 3.3.3

重新排序项。

$y = \frac{1}{3} x + 6$

解题步骤 4

微积分学 示例

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