微积分学示例

$x^{3} + y^{3} = 4 x y$ ; $(2, 2)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (4 x y)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

求微分。

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解题步骤 1.2.1.1

根据加法法则， $x^{3} + y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x y$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 1.3.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$4 (x y' + y)$

解题步骤 1.3.6

运用分配律。

$4 x y' + 4 y$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 4 x y' + 4 y$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

从等式两边同时减去 $4 x y'$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 4 x y' = 4 y$

解题步骤 1.5.2

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$3 y^{2} y' - 4 x y' = 4 y - 3 x^{2}$

解题步骤 1.5.3

从 $3 y^{2} y' - 4 x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.3.1

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2}) - 4 x y' = 4 y - 3 x^{2}$

解题步骤 1.5.3.2

从 $- 4 x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$

解题步骤 1.5.3.3

从 $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

将 $y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$ 中的每一项除以 $3 y^{2} - 4 x$ 并化简。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$ 中的每一项都除以 $3 y^{2} - 4 x$ 。

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 x)}{3 y^{2} - 4 x} = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

解题步骤 1.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

约去 $3 y^{2} - 4 x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 x)}{3 y^{2} - 4 x} = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

解题步骤 1.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{4 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 2$ 和 $y = 2$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$\frac{4 y - 3 {(2)}^{2}}{3 y^{2} - 4 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $y$ 。

$\frac{4 (2) - 3 {(2)}^{2}}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.3

约去 $4 (2) - 3 {(2)}^{2}$ 和 $3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.3.1

重新排序项。

$\frac{- 3 {(2)}^{2} + 2 \cdot 4}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.3.2

从 $- 3 {(2)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 \cdot 2) + 2 \cdot 4}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.3.3

从 $2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 \cdot 2) + 2 (4)}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.3.4

从 $2 (- 3 \cdot 2) + 2 (4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.3.5

约去公因数。

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解题步骤 1.7.3.5.1

从 $3 {(2)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2) - 4 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.3.5.2

从 $- 4 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2) + 2 (- 2 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.3.5.3

从 $2 (3 \cdot 2) + 2 (- 2 \cdot 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2 - 2 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.3.5.4

约去公因数。

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2 - 2 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.3.5.5

重写表达式。

$\frac{- 3 \cdot 2 + 4}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.4

约去 $- 3 \cdot 2 + 4$ 和 $3 \cdot 2 - 2 \cdot 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.1

从 $- 3 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 3 + 4}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 3 + 2 (2)}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.4.3

从 $2 \cdot - 3 + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.4.4

约去公因数。

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解题步骤 1.7.4.4.1

从 $3 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot 3 - 2 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.4.4.2

从 $- 2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot 3 + 2 (- 1 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.4.4.3

从 $2 \cdot 3 + 2 (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.4.4.4

约去公因数。

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 1.7.4.4.5

重写表达式。

$\frac{- 3 + 2}{3 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.5

约去 $- 3 + 2$ 和 $3 - 1 \cdot 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.5.1

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3) - 1 \cdot 2}$

解题步骤 1.7.5.2

从 $- 1 \cdot 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3) - 1 (2)}$

解题步骤 1.7.5.3

从 $- 1 (- 3) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3 + 2)}$

解题步骤 1.7.5.4

约去公因数。

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3 + 2)}$

解题步骤 1.7.5.5

重写表达式。

$\frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.7.5.6

移动 $\frac{1}{- 1}$ 中分母的负号。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 1.7.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 1$ 和给定点 $(2, 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2) = - 1 \cdot (x - (2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- 1 \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 2 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 2 = - 1 x - 1 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y - 2 = - x - 1 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$y - 2 = - x + 2$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = - x + 2 + 2$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = - x + 4$

解题步骤 3

微积分学 示例

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