微积分学示例

$y = \frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = \frac{1}{2}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 + 11 x^{2}$ 。

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $1 + 11 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $1 + 11 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ 。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ 相加。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (11 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3.7

将 $11$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x (2 x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3.9

将 $2$ 乘以 $- 11$ 。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x \cdot x}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{1 + 1}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.8

从 $11 x^{2}$ 中减去 $22 x^{2}$ 。

$6 \frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.9

组合 $6$ 和 $\frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{6 (1 - 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.10

化简。

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解题步骤 1.10.1

运用分配律。

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.10.2

化简每一项。

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解题步骤 1.10.2.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.10.2.2

将 $- 11$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6 - 66 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.10.3

重新排序项。

$\frac{- 66 x^{2} + 6}{{(11 x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.11

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{- 66 {(1)}^{2} + 6}{{(11 {(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12

化简。

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解题步骤 1.12.1

化简分子。

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解题步骤 1.12.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 66 \cdot 1 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12.1.2

将 $- 66$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 66 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12.1.3

将 $- 66$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12.2

化简分母。

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解题步骤 1.12.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12.2.2

将 $11$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 60}{{(11 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12.2.3

将 $11$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 60}{12^{2}}$

解题步骤 1.12.2.4

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 60}{144}$

解题步骤 1.12.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.12.3.1

约去 $- 60$ 和 $144$ 的公因数。

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解题步骤 1.12.3.1.1

从 $- 60$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (- 5)}{144}$

解题步骤 1.12.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.12.3.1.2.1

从 $144$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

解题步骤 1.12.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

解题步骤 1.12.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 5}{12}$

解题步骤 1.12.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{12}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{5}{12}$ 和给定点 $(1, \frac{1}{2})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{5}{12}$ 。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.5

乘以 $- \frac{5}{12} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + 1 (\frac{5}{12})$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $\frac{5}{12}$ 乘以 $1$ 。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{12}$

解题步骤 2.3.1.6

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{2}$ 。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

解题步骤 2.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

解题步骤 2.3.2.3.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{12}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 6}{12}$

解题步骤 2.3.2.5

将 $5$ 和 $6$ 相加。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{11}{12}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{5}{12} x) + \frac{11}{12}$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{5}{12} x + \frac{11}{12}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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