微积分学示例

$y = \frac{1 + x}{1 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{2})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = \frac{1}{2}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + x$ 且 $g (x) = 1 + e^{x}$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

将 $1 + e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

根据加法法则， $1 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$\frac{1 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$\frac{1 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.3

化简分子。

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解题步骤 1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$\frac{1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2

合并 $1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.4.3.2.1

从 $e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$\frac{1 + 0 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.4

重新排序项。

$\frac{- e^{x} x + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.5

从 $- e^{x} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (e^{x} x) + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.6

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.7

从 $- (e^{x} x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.8

将 $- (e^{x} x - 1)$ 重写为 $- 1 (e^{x} x - 1)$ 。

$\frac{- 1 (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.10

将 $- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x e^{x} - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.6.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{0 \cdot 1 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{0 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{- 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.2

化简分母。

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解题步骤 1.6.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{- 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{- 1}{2^{2}}$

解题步骤 1.6.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{- 1}{4}$

解题步骤 1.6.3

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{1}{4}$

解题步骤 1.6.4

乘以 $- - \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 1.6.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{4})$

解题步骤 1.6.4.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{1}{4}$ 和给定点 $(0, \frac{1}{2})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot x$

解题步骤 2.3.1.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $\frac{1}{2}$ 。

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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