微积分学示例

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ ; $x = 2$

解题步骤 1

求 $x = 2$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = \frac{1}{{(2^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.3

化简分母。

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解题步骤 1.2.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{1}{{(4 - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.3.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$y = \frac{1}{3^{3}}$

解题步骤 1.2.3.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{1}{27}$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = \frac{1}{27}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ 重写为 ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.2

将 ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 3}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 3}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + 0)$

解题步骤 2.3.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x)$

解题步骤 2.3.4.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 6 {(x^{2} - 1)}^{- 4} x$

解题步骤 2.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

解题步骤 2.5

合并项。

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解题步骤 2.5.1

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ 。

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

解题步骤 2.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

解题步骤 2.5.3

组合 $x$ 和 $\frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ 。

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$- \frac{6 (2)}{{({(2)}^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{12}{{(2^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.7.2

化简分母。

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解题步骤 2.7.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{12}{{(4 - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.7.2.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{12}{3^{4}}$

解题步骤 2.7.2.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{12}{81}$

解题步骤 2.7.3

约去 $12$ 和 $81$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (4)}{81}$

解题步骤 2.7.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.7.3.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

解题步骤 2.7.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

解题步骤 2.7.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{4}{27}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- \frac{4}{27}$ 和给定点 $(2, \frac{1}{27})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{4}{27} \cdot (x - (2))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} x - \frac{4}{27} \cdot - 2$

解题步骤 3.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{4}{27}$ 。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} - \frac{4}{27} \cdot - 2$

解题步骤 3.3.1.5

乘以 $- \frac{4}{27} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 3.3.1.5.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + 2 (\frac{4}{27})$

解题步骤 3.3.1.5.2

组合 $2$ 和 $\frac{4}{27}$ 。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{2 \cdot 4}{27}$

解题步骤 3.3.1.5.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{8}{27}$

解题步骤 3.3.1.6

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{27}$ 。

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27} + \frac{1}{27}$

解题步骤 3.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 4 x + 8 + 1}{27}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{- 4 x + 9}{27}$

解题步骤 3.3.2.4

分解分数 $\frac{- 4 x + 9}{27}$ 成为两个分数。

$y = \frac{- 4 x}{27} + \frac{9}{27}$

解题步骤 3.3.2.5

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.5.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9}{27}$

解题步骤 3.3.2.5.2

约去 $9$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.5.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 (1)}{27}$

解题步骤 3.3.2.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.5.2.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.2.5.2.2.2

约去公因数。

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.2.5.2.2.3

重写表达式。

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{1}{3}$

解题步骤 3.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 3.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{4}{27} x) + \frac{1}{3}$

解题步骤 3.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{4}{27} x + \frac{1}{3}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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