微积分学示例

$y = \frac{1}{3 x^{3}}$ , $(2, \frac{1}{24})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = \frac{1}{24}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$\frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 1.4

化简项。

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解题步骤 1.4.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{- 3}{3} x^{- 4}$

解题步骤 1.4.2

组合 $\frac{- 3}{3}$ 和 $x^{- 4}$ 。

$\frac{- 3 x^{- 4}}{3}$

解题步骤 1.4.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$\frac{- 3}{3 x^{4}}$

解题步骤 1.4.4

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.4.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

解题步骤 1.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.4.2.1

从 $3 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{4})}$

解题步骤 1.4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

解题步骤 1.4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$- \frac{1}{{(2)}^{4}}$

解题步骤 1.6

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{1}{16}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{1}{16}$ 和给定点 $(2, \frac{1}{24})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{24}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - \frac{1}{24} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- \frac{1}{16}$ 中前置负号移到分子中。

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{16} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 (8)} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.5.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.4

约去公因数。

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.5

重写表达式。

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{8} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.6

组合 $\frac{- 1}{8}$ 和 $- 1$ 。

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- - 1}{8}$

解题步骤 2.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{1}{8}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{24}$ 。

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24}$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $\frac{1}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{24}$

解题步骤 2.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $24$ 的形式。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = - \frac{x}{16} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{1}{24}$

解题步骤 2.3.2.3.2

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$y = - \frac{x}{16} + \frac{3}{24} + \frac{1}{24}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{x}{16} + \frac{3 + 1}{24}$

解题步骤 2.3.2.5

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4}{24}$

解题步骤 2.3.2.6

约去 $4$ 和 $24$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.6.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 (1)}{24}$

解题步骤 2.3.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.6.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

解题步骤 2.3.2.6.2.2

约去公因数。

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

解题步骤 2.3.2.6.2.3

重写表达式。

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{6}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{1}{16} x) + \frac{1}{6}$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{16} x + \frac{1}{6}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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