微积分学示例

$f (x) = x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ ; $x = 2$

解题步骤 1

求 $x = 2$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

解题步骤 1.2.3

化简 $(2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 2 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

解题步骤 1.2.3.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$y = 2 {(4 - 8 + 5)}^{8}$

解题步骤 1.2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 1.2.3.2.1

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$y = 2 {(- 4 + 5)}^{8}$

解题步骤 1.2.3.2.2

将 $- 4$ 和 $5$ 相加。

$y = 2 \cdot 1^{8}$

解题步骤 1.2.3.2.3

一的任意次幂都为一。

$y = 2 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = 2$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{8}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4 x + 5$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2} - 4 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $x^{2} - 4 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.6

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.7

将 $2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \cdot 1$

解题步骤 2.3.9

将 ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ 乘以 $1$ 。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

解题步骤 2.4

从 $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ 。

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解题步骤 2.4.1

从 $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4))$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ 。

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

解题步骤 2.4.2

从 ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ 。

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$

解题步骤 2.4.3

从 ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ 。

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4)) + x^{2} - 4 x + 5)$

解题步骤 2.5

计算在 $x = 2$ 处的导数。

${({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

${(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

解题步骤 2.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

${(4 - 8 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

解题步骤 2.6.2

化简表达式。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $4$ 中减去 $8$ 。

${(- 4 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

解题步骤 2.6.2.2

将 $- 4$ 和 $5$ 相加。

$1^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

解题步骤 2.6.2.3

一的任意次幂都为一。

$1 ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

解题步骤 2.6.2.4

将 $(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ 乘以 $1$ 。

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

解题步骤 2.6.3

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 (8 (4 - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

解题步骤 2.6.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$2 (8 \cdot 0) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

解题步骤 2.6.3.3

乘以 $2 (8 \cdot 0)$ 。

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解题步骤 2.6.3.3.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$2 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

解题步骤 2.6.3.3.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

解题步骤 2.6.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5$

解题步骤 2.6.3.5

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$0 + 4 - 8 + 5$

解题步骤 2.6.4

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.6.4.1

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$4 - 8 + 5$

解题步骤 2.6.4.2

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$- 4 + 5$

解题步骤 2.6.4.3

将 $- 4$ 和 $5$ 相加。

$1$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $1$ 和给定点 $(2, 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2) = 1 \cdot (x - (2))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 = 1 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $x - 2$ 乘以 $1$ 。

$y - 2 = x - 2$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = x - 2 + 2$

解题步骤 3.3.2.2

合并 $x - 2 + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$y = x + 0$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y = x$

解题步骤 4

微积分学 示例

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