微积分学示例

$y = x^{\cos (x)}$ ; $x = 1$

解题步骤 1

求 $x = 1$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 1^{\cos (1)}$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

解题步骤 1.2.3

化简 ${(1)}^{\cos (1)}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

计算 $\cos (1)$ 。

$y = 1^{0.99984769}$

解题步骤 1.2.3.2

一的任意次幂都为一。

$y = 1$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 2.1.1

将 $x^{\cos (x)}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\cos (x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (x)})}]$

解题步骤 2.1.2

通过将 $\cos (x)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\cos (x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (x)}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (x) \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x) \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

解题步骤 2.2.3

使用 $\cos (x) \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.5

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

运用分配律。

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 2.7.2

组合 $e^{\cos (x) \ln (x)}$ 和 $\frac{\cos (x)}{x}$ 。

$\frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} \ln (x) (- \sin (x))$

解题步骤 2.7.3

重新排序项。

$- e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

解题步骤 2.8

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- e^{\cos (1) \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

解题步骤 2.9

化简。

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解题步骤 2.9.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.1.1

计算 $\cos (1)$ 。

$- e^{0.99984769 \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

解题步骤 2.9.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $0.99984769 \ln (1)$ 。

$- e^{\ln (1^{0.99984769})} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

解题步骤 2.9.1.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$- 1^{0.99984769} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

解题步骤 2.9.1.4

一的任意次幂都为一。

$- 1 \cdot 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

解题步骤 2.9.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

解题步骤 2.9.1.6

计算 $\sin (1)$ 。

$- 1 \cdot 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

解题步骤 2.9.1.7

将 $- 1$ 乘以 $0.0174524$ 。

$- 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

解题步骤 2.9.1.8

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$- 0.0174524 \cdot 0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

解题步骤 2.9.1.9

将 $- 0.0174524$ 乘以 $0$ 。

$0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

解题步骤 2.9.1.10

用 $e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$ 除以 $1$ 。

$0 + e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$

解题步骤 2.9.1.11

计算 $\cos (1)$ 。

$0 + e^{0.99984769 \ln (1)} \cos (1)$

解题步骤 2.9.1.12

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $0.99984769 \ln (1)$ 。

$0 + e^{\ln (1^{0.99984769})} \cos (1)$

解题步骤 2.9.1.13

指数函数和对数函数互为反函数。

$0 + 1^{0.99984769} \cos (1)$

解题步骤 2.9.1.14

一的任意次幂都为一。

$0 + 1 \cos (1)$

解题步骤 2.9.1.15

将 $\cos (1)$ 乘以 $1$ 。

$0 + \cos (1)$

解题步骤 2.9.1.16

计算 $\cos (1)$ 。

$0 + 0.99984769$

解题步骤 2.9.2

将 $0$ 和 $0.99984769$ 相加。

$0.99984769$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $0.99984769$ 和给定点 $(1, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = 0.99984769 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $0.99984769 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 + 0.99984769 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = 0.99984769 x + 0.99984769 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4

将 $0.99984769$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = 0.99984769 x - 0.99984769$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 0.99984769 x - 0.99984769 + 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 0.99984769$ 和 $1$ 相加。

$y = 0.99984769 x + 0.0001523$

解题步骤 4

微积分学 示例

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