微积分学示例

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 写为等式。

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = \frac{1}{2}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 重写为 ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

解题步骤 2.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

解题步骤 2.4.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 。

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- \frac{2 (1)}{{(1 + {(1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{{(1 + 1^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

化简分母。

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解题步骤 2.6.2.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{2}{{(1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2}{2^{2}}$

解题步骤 2.6.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{2}{4}$

解题步骤 2.6.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (1)}{4}$

解题步骤 2.6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- \frac{1}{2}$ 和给定点 $(1, \frac{1}{2})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.5

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.3.1.5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{2}$ 。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- x + 1 + 1}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{- x + 2}{2}$

解题步骤 3.3.2.4

分解分数 $\frac{- x + 2}{2}$ 成为两个分数。

$y = \frac{- x}{2} + \frac{2}{2}$

解题步骤 3.3.2.5

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.5.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

解题步骤 3.3.2.5.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$y = - \frac{x}{2} + 1$

解题步骤 3.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 3.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{1}{2} x) + 1$

解题步骤 3.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{2} x + 1$

解题步骤 4

微积分学 示例

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