微积分学示例

$y = - \frac{1}{x^{3}}$ , $(- 1, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 1$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$- (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.4

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 乘以 $0$ 。

$3 x^{- 4} + 0$

解题步骤 1.2.6.2

将 $3 x^{- 4}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{- 4}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 1.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{3}{x^{4}}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = - 1$ 处的导数。

$\frac{3}{{(- 1)}^{4}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{3}{1}$

解题步骤 1.5.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $3$ 和给定点 $(- 1, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = 3 \cdot (x - (- 1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = 3 \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $3 \cdot (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = 3 \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$y - 1 = 3 x + 3$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 3 x + 3 + 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$y = 3 x + 4$

解题步骤 3

微积分学 示例

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