微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{4})$ , $(- 1, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 1$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{4})]$

解题步骤 1.1.2

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $\ln (x^{4})$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{4})}{2}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x \ln (x^{4})}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x^{4})$ 。

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.4.1

组合 $\frac{1}{x^{4}}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2.3

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.3.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.4

化简项。

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解题步骤 1.4.4.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.4.2

组合 $\frac{4}{x^{3}}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.4.3

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.4.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.4.3.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

解题步骤 1.4.6

将 $\ln (x^{4})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}))$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

解题步骤 1.5.2

合并项。

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解题步骤 1.5.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

解题步骤 1.5.2.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

解题步骤 1.5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

解题步骤 1.5.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

解题步骤 1.5.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

解题步骤 1.5.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

解题步骤 1.5.3

重新排序项。

$\frac{1}{2} \ln (x^{4}) + 2$

解题步骤 1.5.4

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (x^{4})$ 。

$\frac{\ln (x^{4})}{2} + 2$

解题步骤 1.5.4.2

通过将 $4$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{4})$ 。

$\frac{4 \ln (x)}{2} + 2$

解题步骤 1.5.4.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.3.1

从 $4 \ln (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2} + 2$

解题步骤 1.5.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.4.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 (1)} + 2$

解题步骤 1.5.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 \cdot 1} + 2$

解题步骤 1.5.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \ln (x)}{1} + 2$

解题步骤 1.5.4.3.2.4

用 $2 \ln (x)$ 除以 $1$ 。

$2 \ln (x) + 2$

解题步骤 1.6

计算在 $x = - 1$ 处的导数。

$2 \ln (- 1) + 2$

解题步骤 1.7

负数的自然对数无定义。

无定义

解题步骤 2

该直线的斜率无意义，这表明它在 $x = - 1$ 处垂直于 X 轴。

$x = - 1$

解题步骤 3

微积分学 示例

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