微积分学示例

$g (x) = 3 e^{- 5 x}$ at the point $(0, 3)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 3$ 的值，从而求切线的斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{- 5 x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 5 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 5 x$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 1.2.3

使用 $- 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$- 15 e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 15 e^{- 5 x} \cdot 1$

解题步骤 1.3.4

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$- 15 e^{- 5 x}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$- 15 e^{- 5 \cdot 0}$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$- 15 e^{0}$

解题步骤 1.5.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 15 \cdot 1$

解题步骤 1.5.3

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$- 15$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用斜率 $- 15$ 和给定点 $(0, 3)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (3) = - 15 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 3 = - 15 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - 3 = - 15 x$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$y = - 15 x + 3$

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例