微积分学示例

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{4}$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\tan (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.1.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.3

重新排序 $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ 的因式。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 1.4

计算在 $x = \frac{π}{4}$ 处的导数。

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.5.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.6.4.1

约去公因数。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.3.6.4.2

重写表达式。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.3.6.5

计算指数。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

约去公因数。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.4.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.5.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.4.1

约去公因数。

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.5.4.2

重写表达式。

$2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.5.5

计算指数。

$2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.7

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 1.5.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $4$ 和给定点 $(\frac{π}{4}, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = 4 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $4 \cdot (x - \frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = 4 x + 4 (- \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $- \frac{π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

解题步骤 2.3.1.4.2

约去公因数。

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

解题步骤 2.3.1.4.3

重写表达式。

$y - 1 = 4 x - π$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 4 x - π + 1$

解题步骤 3

微积分学 示例

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