微积分学示例

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y^{2}$ ; $(3, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 3$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 x y^{2})$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} + y^{2}$ 。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 1.2.3

求微分。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 1.2.3.2

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.4.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

解题步骤 1.2.6

化简。

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解题步骤 1.2.6.1

运用分配律。

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

解题步骤 1.2.6.2

重新排序 $(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ 的因式。

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $100 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $100 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 。

$100 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$100 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$100 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$100 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$100 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$100 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$100 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$100 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

解题步骤 1.3.7

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$100 (2 x y y' + y^{2})$

解题步骤 1.3.8

化简。

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解题步骤 1.3.8.1

运用分配律。

$100 (2 x y y') + 100 y^{2}$

解题步骤 1.3.8.2

将 $2$ 乘以 $100$ 。

$200 x y y' + 100 y^{2}$

解题步骤 1.3.8.3

重新排序项。

$100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

化简 $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

重写。

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ 。

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解题步骤 1.5.1.3.1

运用分配律。

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.3.2

运用分配律。

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.3.3

运用分配律。

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.1.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.5

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.6

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.7

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.4.7.1

移动 $y^{2}$ 。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.7.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.5.1.4.7.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.1.4.8

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = 100 y^{2} + 200 x y y'$

解题步骤 1.5.2

从等式两边同时减去 $200 x y y'$ 。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2}$

解题步骤 1.5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.5.3.1

从等式两边同时减去 $12 x^{3}$ 。

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3}$

解题步骤 1.5.3.2

从等式两边同时减去 $12 x y^{2}$ 。

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

解题步骤 1.5.4

从 $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y'$ 中分解出因数 $4 y y'$ 。

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解题步骤 1.5.4.1

从 $12 y y' x^{2}$ 中分解出因数 $4 y y'$ 。

$4 y y' (3 x^{2}) + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

解题步骤 1.5.4.2

从 $12 y^{3} y'$ 中分解出因数 $4 y y'$ 。

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

解题步骤 1.5.4.3

从 $- 200 x y y'$ 中分解出因数 $4 y y'$ 。

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

解题步骤 1.5.4.4

从 $4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2})$ 中分解出因数 $4 y y'$ 。

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

解题步骤 1.5.4.5

从 $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x)$ 中分解出因数 $4 y y'$ 。

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

解题步骤 1.5.5

将 $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ 中的每一项除以 $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ 并化简。

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解题步骤 1.5.5.1

将 $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ 中的每一项都除以 $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ 。

$\frac{4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.5.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 1.5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.2.2.1

约去公因数。

解题步骤 1.5.5.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.2.3

约去 $3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.2.3.1

约去公因数。

解题步骤 1.5.5.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.3.1.1

约去 $100$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.1.1

从 $100 y^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.1.2.1

从 $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{25 y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.2

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.2.1

从 $25 y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (25 y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.2.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{y (25 y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.2.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.3

约去 $- 12$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.3.1

从 $- 12 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.3.2.1

从 $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.3.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.3.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{- 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.5

约去 $- 12$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.5.1

从 $- 12 x y^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.5.2.1

从 $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))}$

解题步骤 1.5.5.3.1.5.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))}$

解题步骤 1.5.5.3.1.5.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.6

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.6.1

从 $- 3 x y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.6.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.6.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

解题步骤 1.5.5.3.1.7

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

解题步骤 1.5.5.3.2

要将 $\frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

解题步骤 1.5.5.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ 的形式。

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解题步骤 1.5.5.3.3.1

将 $\frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$y' = \frac{25 y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

解题步骤 1.5.5.3.3.2

重新排序 $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ 的因式。

$y' = \frac{25 y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

解题步骤 1.5.5.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{25 y \cdot y - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

解题步骤 1.5.5.3.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.5.1

移动 $y$ 。

$y' = \frac{25 (y \cdot y) - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

解题步骤 1.5.5.3.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

解题步骤 1.5.5.3.6

要将 $- \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} \cdot \frac{y}{y}$

解题步骤 1.5.5.3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ 的形式。

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解题步骤 1.5.5.3.7.1

将 $\frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y}$

解题步骤 1.5.5.3.7.2

重新排序 $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ 的因式。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.8

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.9

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.9.1

移动 $y$ 。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x (y \cdot y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.5.5.3.9.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 3$ 和 $y = 1$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$\frac{25 y^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot y^{2}}{y (3 {(3)}^{2} + 3 y^{2} - 50 \cdot 3)}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $y$ 。

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{(1) (3 {(3)}^{2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

解题步骤 1.7.3

通过指数相加将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.7.3.1

将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.7.3.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{1} {(3)}^{2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

解题步骤 1.7.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{1 + 2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

解题步骤 1.7.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

解题步骤 1.7.4

将 $3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.5

化简分子。

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解题步骤 1.7.5.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{25 \cdot 1 - 3 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.5.2

将 $25$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25 - 3 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.5.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{25 - 3 \cdot 27 - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.5.4

将 $- 3$ 乘以 $27$ 。

$\frac{25 - 81 - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.5.5

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{25 - 81 - 9 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.5.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{25 - 81 - 9 \cdot 1}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.5.7

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25 - 81 - 9}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.5.8

从 $25$ 中减去 $81$ 。

$\frac{- 56 - 9}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.5.9

从 $- 56$ 中减去 $9$ 。

$\frac{- 65}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.6

化简分母。

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解题步骤 1.7.6.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{- 65}{27 + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.6.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 65}{27 + 3 \cdot 1 - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.6.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 65}{27 + 3 - 50 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.6.4

将 $- 50$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 65}{27 + 3 - 150}$

解题步骤 1.7.6.5

将 $27$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 65}{30 - 150}$

解题步骤 1.7.6.6

从 $30$ 中减去 $150$ 。

$\frac{- 65}{- 120}$

解题步骤 1.7.7

约去 $- 65$ 和 $- 120$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.7.1

从 $- 65$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$\frac{- 5 (13)}{- 120}$

解题步骤 1.7.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.7.2.1

从 $- 120$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$\frac{- 5 \cdot 13}{- 5 \cdot 24}$

解题步骤 1.7.7.2.2

约去公因数。

$\frac{- 5 \cdot 13}{- 5 \cdot 24}$

解题步骤 1.7.7.2.3

重写表达式。

$\frac{13}{24}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{13}{24}$ 和给定点 $(3, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = \frac{13}{24} \cdot (x - (3))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{13}{24} \cdot (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = \frac{13}{24} x + \frac{13}{24} \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{13}{24}$ 和 $x$ 。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{24} \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.5.1

从 $24$ 中分解出因数 $3$ 。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 (8)} \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 \cdot 8} \cdot (3 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.3

约去公因数。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 \cdot 8} \cdot (3 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.4

重写表达式。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{8} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.6

组合 $\frac{13}{8}$ 和 $- 1$ 。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13 \cdot - 1}{8}$

解题步骤 2.3.1.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.7.1

将 $13$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{- 13}{8}$

解题步骤 2.3.1.7.2

将负号移到分数的前面。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8} + 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8} + \frac{8}{8}$

解题步骤 2.3.2.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{13 x}{24} + \frac{- 13 + 8}{8}$

解题步骤 2.3.2.4

将 $- 13$ 和 $8$ 相加。

$y = \frac{13 x}{24} + \frac{- 5}{8}$

解题步骤 2.3.2.5

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{5}{8}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{13}{24} x - \frac{5}{8}$

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例