微积分学示例

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, 2 \frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{6}$ 和 $y = 2 (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 1.2

计算在 $x = \frac{π}{6}$ 处的导数。

$\sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

$\sec (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.3.6.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.3.4

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.3.5

乘以 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.5.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.5.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.5.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

解题步骤 1.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

解题步骤 1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

解题步骤 1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

解题步骤 1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

解题步骤 1.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \cdot 3^{1}}{9}$

解题步骤 1.3.6.5

计算指数。

$\frac{2 \cdot 3}{9}$

解题步骤 1.3.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6}{9}$

解题步骤 1.3.8

约去 $6$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.8.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2)}{9}$

解题步骤 1.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.8.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.8.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.8.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{2}{3}$ 和给定点 $(\frac{π}{6}, 2 (\frac{\sqrt{3}}{3}))$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2 (\frac{\sqrt{3}}{3})) = \frac{2}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

解题步骤 2.3.1.5.3

约去公因数。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.5.4

重写表达式。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

解题步骤 2.3.1.6

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{- π}{3}$ 。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.7.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{9}$

解题步骤 2.3.1.7.2

将负号移到分数的前面。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

要将 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 2.3.3.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

解题步骤 2.3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

解题步骤 2.3.3.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 6 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 2.3.3.5

从 $- π$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) + 6 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 2.3.3.6

从 $6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) - (- 6 \sqrt{3})}{9}$

解题步骤 2.3.3.7

从 $- (π) - (- 6 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

解题步骤 2.3.3.8

将 $- (π - 6 \sqrt{3})$ 重写为 $- 1 (π - 6 \sqrt{3})$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 1 (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

解题步骤 2.3.3.9

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 2.3.3.10

重新排序项。

$y = \frac{2}{3} x - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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