微积分学示例

$f (x) = \frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ ; , $(- 1, 6)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 1$ 和 $y = 6$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.4.3

使用 $x^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.6

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.6.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 2$ 。

$5 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$5 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.6.3

将负号移到分数的前面。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.9

在公分母上合并分子。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.10

化简分子。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.10.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.11

将负号移到分数的前面。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.12

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.13

组合 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.14

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.14.1

移动 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$5 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.14.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.14.3

在公分母上合并分子。

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.14.4

从 $- 4$ 中减去 $1$ 。

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.14.5

将负号移到分数的前面。

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$5 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.16

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.17

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{- 5 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.18

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.2.19

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$- 1 - \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = - 1$ 处的导数。

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1.1

化简分母。

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解题步骤 1.6.1.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$- 1 - \frac{10}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.6.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 1.6.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1.3.1

约去公因数。

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 1.6.1.1.3.2

重写表达式。

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{5}}$

解题步骤 1.6.1.1.4

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$- 1 - \frac{10}{3 \cdot - 1}$

解题步骤 1.6.1.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 - \frac{10}{- 3}$

解题步骤 1.6.1.3

将负号移到分数的前面。

$- 1 - - \frac{10}{3}$

解题步骤 1.6.1.4

乘以 $- - \frac{10}{3}$ 。

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解题步骤 1.6.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 + 1 (\frac{10}{3})$

解题步骤 1.6.1.4.2

将 $\frac{10}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + \frac{10}{3}$

解题步骤 1.6.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}$

解题步骤 1.6.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}$

解题步骤 1.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 \cdot 3 + 10}{3}$

解题步骤 1.6.5

化简分子。

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解题步骤 1.6.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 + 10}{3}$

解题步骤 1.6.5.2

将 $- 3$ 和 $10$ 相加。

$\frac{7}{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{7}{3}$ 和给定点 $(- 1, 6)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (6) = \frac{7}{3} \cdot (x - (- 1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{7}{3} \cdot (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 6 = \frac{7}{3} x + \frac{7}{3} \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{7}{3}$ 和 $x$ 。

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.5

将 $\frac{7}{3}$ 乘以 $1$ 。

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $6$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 6 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 18}{3}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $7$ 和 $18$ 相加。

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{25}{3}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{7}{3} x + \frac{25}{3}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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