微积分学示例

$f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ , $(0, \frac{1}{3})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = \frac{1}{3}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$\frac{x e^{x} + 3 e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.4.2

从 $3 e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3

重新排序项。

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4

从 $e^{x} x + 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

从 $e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x) + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.2

从 $2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.3

从 $e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$\frac{e^{0} ((0) + 2)}{{((0) + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.6.1.1

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{e^{0} \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{{(0 + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.6.2

化简分母。

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解题步骤 1.6.2.1

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2}{3^{2}}$

解题步骤 1.6.2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2}{9}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{2}{9}$ 和给定点 $(0, \frac{1}{3})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

解题步骤 2.3.1.2

组合 $\frac{2}{9}$ 和 $x$ 。

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $\frac{1}{3}$ 。

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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