微积分学示例

$y = \frac{1}{2 x^{3}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = \frac{1}{2}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$\frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 1.4

合并分数。

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解题步骤 1.4.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 3}{2} x^{- 4}$

解题步骤 1.4.2

组合 $\frac{- 3}{2}$ 和 $x^{- 4}$ 。

$\frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

解题步骤 1.4.3

化简表达式。

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解题步骤 1.4.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$\frac{- 3}{2 x^{4}}$

解题步骤 1.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2 x^{4}}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- \frac{3}{2 {(1)}^{4}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{3}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{2}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{3}{2}$ 和给定点 $(1, \frac{1}{2})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.5

乘以 $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2})$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.1.6

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{2}$ 。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 3 x + 3 + 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{- 3 x + 4}{2}$

解题步骤 2.3.2.4

分解分数 $\frac{- 3 x + 4}{2}$ 成为两个分数。

$y = \frac{- 3 x}{2} + \frac{4}{2}$

解题步骤 2.3.2.5

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{4}{2}$

解题步骤 2.3.2.5.2

用 $4$ 除以 $2$ 。

$y = - \frac{3 x}{2} + 2$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{3}{2} x) + 2$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{3}{2} x + 2$

解题步骤 3

微积分学 示例

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