微积分学示例

$y = \frac{x^{2}}{7 + x}$ , $(1, \frac{1}{8})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = \frac{1}{8}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 7 + x$ 。

$\frac{(7 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [7 + x]}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(7 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [7 + x]}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $2$ 移到 $7 + x$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (7 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [7 + x]}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $7 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 (7 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (7 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{2 (7 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (7 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (7 + x) x - x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 \cdot 7 + 2 x) x - x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 7 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{14 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{14 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{14 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{14 x + x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

重新排序项。

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

从 $x^{2} + 14 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.2

从 $14 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 14}{{(x + 7)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.3

从 $x \cdot x + x \cdot 14$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x + 14)}{{(x + 7)}^{2}}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{(1) ((1) + 14)}{{((1) + 7)}^{2}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $1 + 14$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 14}{{(1 + 7)}^{2}}$

解题步骤 1.5.2

化简分母。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$\frac{1 + 14}{8^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1 + 14}{64}$

解题步骤 1.5.3

将 $1$ 和 $14$ 相加。

$\frac{15}{64}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{15}{64}$ 和给定点 $(1, \frac{1}{8})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{8}) = \frac{15}{64} \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{8} = \frac{15}{64} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{15}{64} \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - \frac{1}{8} = 0 + 0 + \frac{15}{64} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{1}{8} = \frac{15}{64} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{1}{8} = \frac{15}{64} x + \frac{15}{64} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{15}{64}$ 和 $x$ 。

$y - \frac{1}{8} = \frac{15 x}{64} + \frac{15}{64} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.5

乘以 $\frac{15}{64} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.1.5.1

组合 $\frac{15}{64}$ 和 $- 1$ 。

$y - \frac{1}{8} = \frac{15 x}{64} + \frac{15 \cdot - 1}{64}$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $15$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \frac{1}{8} = \frac{15 x}{64} + \frac{- 15}{64}$

解题步骤 2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y - \frac{1}{8} = \frac{15 x}{64} - \frac{15}{64}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{8}$ 。

$y = \frac{15 x}{64} - \frac{15}{64} + \frac{1}{8}$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $\frac{1}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{15 x}{64} - \frac{15}{64} + \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 2.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $64$ 的形式。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{15 x}{64} - \frac{15}{64} + \frac{8}{8 \cdot 8}$

解题步骤 2.3.2.3.2

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{15 x}{64} - \frac{15}{64} + \frac{8}{64}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{15 x}{64} + \frac{- 15 + 8}{64}$

解题步骤 2.3.2.5

将 $- 15$ 和 $8$ 相加。

$y = \frac{15 x}{64} + \frac{- 7}{64}$

解题步骤 2.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{15 x}{64} - \frac{7}{64}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{15}{64} x - \frac{7}{64}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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