微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x}$ , $x = \frac{1}{25}$

解题步骤 1

求 $x = \frac{1}{25}$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $\frac{1}{25}$ 替换 $x$ 。

$y = \sqrt{\frac{1}{25}}$

解题步骤 1.2

化简 $\sqrt{\frac{1}{25}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = \sqrt{\frac{1}{25}}$

解题步骤 1.2.2

将 $\sqrt{\frac{1}{25}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ 。

$y = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 1.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$y = \frac{1}{\sqrt{25}}$

解题步骤 1.2.4

化简分母。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 1.2.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \frac{1}{5}$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = \frac{1}{25}$ 和 $y = \frac{1}{5}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.9

计算在 $x = \frac{1}{25}$ 处的导数。

$\frac{1}{2 {(\frac{1}{25})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

化简分母。

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解题步骤 2.10.1.1

对 $\frac{1}{25}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2 \frac{1^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.10.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2 \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.10.1.3

化简分母。

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解题步骤 2.10.1.3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{1}{2 \frac{1}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.10.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2 \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}$

解题步骤 2.10.1.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.1.3.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2 \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}$

解题步骤 2.10.1.3.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{2 \frac{1}{5^{1}}}$

解题步骤 2.10.1.3.4

计算指数。

$\frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

解题步骤 2.10.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{\frac{2}{5}}$

解题步骤 2.10.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 (\frac{5}{2})$

解题步骤 2.10.4

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{2}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $\frac{5}{2}$ 和给定点 $(\frac{1}{25}, \frac{1}{5})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{5}) = \frac{5}{2} \cdot (x - (\frac{1}{25}))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{5} = \frac{5}{2} \cdot (x - \frac{1}{25})$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $\frac{5}{2} \cdot (x - \frac{1}{25})$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - \frac{1}{5} = 0 + 0 + \frac{5}{2} \cdot (x - \frac{1}{25})$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{1}{5} = \frac{5}{2} \cdot (x - \frac{1}{25})$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{1}{5} = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} (- \frac{1}{25})$

解题步骤 3.3.1.4

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x$ 。

$y - \frac{1}{5} = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} (- \frac{1}{25})$

解题步骤 3.3.1.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.5.1

将 $- \frac{1}{25}$ 中前置负号移到分子中。

$y - \frac{1}{5} = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{- 1}{25}$

解题步骤 3.3.1.5.2

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$y - \frac{1}{5} = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{- 1}{5 (5)}$

解题步骤 3.3.1.5.3

约去公因数。

$y - \frac{1}{5} = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{- 1}{5 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.1.5.4

重写表达式。

$y - \frac{1}{5} = \frac{5 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{5}$

解题步骤 3.3.1.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{- 1}{5}$ 。

$y - \frac{1}{5} = \frac{5 x}{2} + \frac{- 1}{2 \cdot 5}$

解题步骤 3.3.1.7

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1.7.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$y - \frac{1}{5} = \frac{5 x}{2} + \frac{- 1}{10}$

解题步骤 3.3.1.7.2

将负号移到分数的前面。

$y - \frac{1}{5} = \frac{5 x}{2} - \frac{1}{10}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{5}$ 。

$y = \frac{5 x}{2} - \frac{1}{10} + \frac{1}{5}$

解题步骤 3.3.2.2

要将 $\frac{1}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{5 x}{2} - \frac{1}{10} + \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $10$ 的形式。

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解题步骤 3.3.2.3.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{5 x}{2} - \frac{1}{10} + \frac{2}{5 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.3.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{5 x}{2} - \frac{1}{10} + \frac{2}{10}$

解题步骤 3.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{- 1 + 2}{10}$

解题步骤 3.3.2.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{1}{10}$

解题步骤 3.3.3

重新排序项。

$y = \frac{5}{2} x + \frac{1}{10}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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