微积分学示例

$f (x) = \sec (x) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ at $x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 1

求 $x = - \frac{π}{3}$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $- \frac{π}{3}$ 替换 $x$ 。

$y = \sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = \sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

解题步骤 1.2.2

化简 $\sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.2.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$y = \sec (\frac{5 π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

解题步骤 1.2.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$y = \sec (\frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

解题步骤 1.2.2.1.3

$\sec (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $2$ 。

$y = 2 + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

解题步骤 1.2.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = - \frac{π}{3}$ 和 $y = 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\sec (x) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

解题步骤 2.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\sec (x) \tan (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

解题步骤 2.3.2

因为 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\sec (x) \tan (x) + 0 + 0$

解题步骤 2.4

合并项。

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解题步骤 2.4.1

将 $\sec (x) \tan (x)$ 和 $0$ 相加。

$\sec (x) \tan (x) + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $\sec (x) \tan (x)$ 和 $0$ 相加。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.5

计算在 $x = - \frac{π}{3}$ 处的导数。

$\sec (- \frac{π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sec (\frac{5 π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

解题步骤 2.6.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

解题步骤 2.6.3

$\sec (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $2$ 。

$2 \tan (- \frac{π}{3})$

解题步骤 2.6.4

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \tan (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 2.6.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$2 (- \tan (\frac{π}{3}))$

解题步骤 2.6.6

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$2 (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.6.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sqrt{3}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- 2 \sqrt{3}$ 和给定点 $(- \frac{π}{3}, 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}) = - 2 \sqrt{3} \cdot (x - (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = 0 + 0 - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

解题步骤 3.3.1.4

乘以 $- 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1.4.1

组合 $\frac{π}{3}$ 和 $- 2$ 。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2}{3} \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.1.4.2

组合 $\frac{π \cdot - 2}{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.3.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.5.1

将 $- 2$ 移到 $π$ 的左侧。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.3.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$y - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3$

解题步骤 3.3.2.2

在等式两边都加上 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ 。

$y = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

解题步骤 3.3.2.3

合并 $- 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.3.1

按照 $- \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ 和 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ 重新排列因数。

$y = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.3.2.3.2

将 $- \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ 和 $\frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ 相加。

$y = - 2 \sqrt{3} x + 0 + 3$

解题步骤 3.3.2.3.3

将 $- 2 \sqrt{3} x$ 和 $0$ 相加。

$y = - 2 \sqrt{3} x + 3$

解题步骤 4

微积分学 示例

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