微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 2$ at $x = 0$

解题步骤 1

求 $x = 0$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 0^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} + 2 (0) - 2$

解题步骤 1.2.3

去掉圆括号。

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

解题步骤 1.2.4

化简 ${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

解题步骤 1.2.4.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 3 \cdot 0 + 2 (0) - 2$

解题步骤 1.2.4.1.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 2 (0) - 2$

解题步骤 1.2.4.1.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 0 - 2$

解题步骤 1.2.4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.2.4.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 - 2$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 - 2$

解题步骤 1.2.4.2.3

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = - 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 2 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $3 x^{2} - 6 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 6 x + 2$

解题步骤 2.5

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 2$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 2$

解题步骤 2.6.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 - 6 \cdot 0 + 2$

解题步骤 2.6.1.3

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 2$

解题步骤 2.6.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 2$

解题步骤 2.6.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $2$ 和给定点 $(0, - 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 2) = 2 \cdot (x - (0))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 2 = 2 \cdot (x + 0)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y + 2 = 2 x$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = 2 x - 2$

解题步骤 4

微积分学 示例

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