微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ ; , $x = 1$

解题步骤 1

求 $x = 1$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

解题步骤 1.2

化简 $\sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

解题步骤 1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$y = 1 + \frac{2}{\sqrt{1}}$

解题步骤 1.2.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$y = 1 + \frac{2}{1}$

解题步骤 1.2.2.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$y = 1 + 2$

解题步骤 1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = 3$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 3$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.3.4.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.3.6

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.3.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 2.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 2.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 2.3.10

化简分子。

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解题步骤 2.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 2.3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 2.3.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 2.3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.13

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

解题步骤 2.3.14

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 2.3.14.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

解题步骤 2.3.14.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.14.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.14.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.14.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.14.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.14.5.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.14.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.3.16

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.3.17

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.3.18

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.3.19

约去公因数。

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解题步骤 2.3.19.1

从 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 2.3.19.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.3.19.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.3.20

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.5

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2 \cdot 1} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.6.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.6.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

解题步骤 2.6.1.4

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

解题步骤 2.6.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - 1$

解题步骤 2.6.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.6.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.6.5

化简分子。

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解题步骤 2.6.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 - 2}{2}$

解题步骤 2.6.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.6.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- \frac{1}{2}$ 和给定点 $(1, 3)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (3) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 3 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y - 3 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.5

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 3 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.3.1.5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$y - 3 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3$

解题步骤 3.3.2.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 6}{2}$

解题步骤 3.3.2.5.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

解题步骤 3.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 3.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{7}{2}$

解题步骤 3.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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