微积分学示例

$g (x) = \frac{6 x}{x + 5}$ at $(- 3, - 9)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 3$ 和 $y = - 9$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 x}{x + 5}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

$6 \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $x + 5$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$6 \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

化简项。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$6 \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$6 \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.4

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$6 \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.5

组合 $6$ 和 $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ 。

$\frac{6 \cdot 5}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.6

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$\frac{30}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = - 3$ 处的导数。

$\frac{30}{{((- 3) + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简分母。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$\frac{30}{2^{2}}$

解题步骤 1.5.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{30}{4}$

解题步骤 1.5.2

约去 $30$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (15)}{4}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{15}{2}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{15}{2}$ 和给定点 $(- 3, - 9)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 9) = \frac{15}{2} \cdot (x - (- 3))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{15}{2} \cdot (x + 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + 9 = 0 + 0 + \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + 9 = \frac{15}{2} x + \frac{15}{2} \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{15}{2}$ 和 $x$ 。

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15}{2} \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.5

乘以 $\frac{15}{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.3.1.5.1

组合 $\frac{15}{2}$ 和 $3$ 。

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15 \cdot 3}{2}$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $15$ 乘以 $3$ 。

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $- 9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $- 9$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 9 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 18}{2}$

解题步骤 2.3.2.5.2

从 $45$ 中减去 $18$ 。

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{27}{2}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{15}{2} x + \frac{27}{2}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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