微积分学示例

${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 37$ , $(- 3, - 3)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 3$ 和 $y = - 3$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (37)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

解题步骤 1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

解题步骤 1.2.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

解题步骤 1.2.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

解题步骤 1.2.3.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

解题步骤 1.2.4

将 ${(y - 3)}^{2}$ 重写为 $(y - 3) (y - 3)$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + (y - 3) (y - 3)]$

解题步骤 1.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(y - 3) (y - 3)$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

解题步骤 1.2.5.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

解题步骤 1.2.5.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

解题步骤 1.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.6.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

解题步骤 1.2.6.1.2

将 $- 3$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

解题步骤 1.2.6.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

解题步骤 1.2.6.2

从 $- 3 y$ 中减去 $3 y$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9]$

解题步骤 1.2.7

求微分。

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解题步骤 1.2.7.1

根据加法法则， $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.8

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.8.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.9

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.10

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.10.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.10.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.10.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + 4 + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.10.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + 4 + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.10.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.11

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 y]$ 。

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解题步骤 1.2.11.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 y$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.11.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.12

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + 0$

解题步骤 1.2.13

化简。

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解题步骤 1.2.13.1

合并项。

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解题步骤 1.2.13.1.1

将 $2 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y' + 0$

解题步骤 1.2.13.1.2

将 $2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$

解题步骤 1.2.13.2

重新排序项。

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y'$

解题步骤 1.3

因为 $37$ 对于 $x$ 是常数，所以 $37$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y' = 0$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.5.1.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$2 y y' + 4 - 6 y' = - 2 x$

解题步骤 1.5.1.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$2 y y' - 6 y' = - 2 x - 4$

解题步骤 1.5.2

从 $2 y y' - 6 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' y - 6 y' = - 2 x - 4$

解题步骤 1.5.2.2

从 $- 6 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = - 2 x - 4$

解题步骤 1.5.2.3

从 $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$

解题步骤 1.5.3

将 $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ 中的每一项除以 $2 (y - 3)$ 并化简。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ 中的每一项都除以 $2 (y - 3)$ 。

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

解题步骤 1.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去 $y - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

解题步骤 1.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.3.3.1.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.3.1.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

解题步骤 1.5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

解题步骤 1.5.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

解题步骤 1.5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

解题步骤 1.5.3.3.1.3

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.3.1.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

解题步骤 1.5.3.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.3.1.3.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

解题步骤 1.5.3.3.1.3.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 2}{y - 3}$

解题步骤 1.5.3.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x}{y - 3} - \frac{2}{y - 3}$

解题步骤 1.5.3.3.2

化简项。

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解题步骤 1.5.3.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- x - 2}{y - 3}$

解题步骤 1.5.3.3.2.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (x) - 2}{y - 3}$

解题步骤 1.5.3.3.2.3

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$y' = \frac{- (x) - 1 (2)}{y - 3}$

解题步骤 1.5.3.3.2.4

从 $- (x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (x + 2)}{y - 3}$

解题步骤 1.5.3.3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 1.5.3.3.2.5.1

将 $- (x + 2)$ 重写为 $- 1 (x + 2)$ 。

$y' = \frac{- 1 (x + 2)}{y - 3}$

解题步骤 1.5.3.3.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x + 2}{y - 3}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2}{y - 3}$

解题步骤 1.7

计算 $x = - 3$ 和 $y = - 3$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$- \frac{(- 3) + 2}{y - 3}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $y$ 。

$- \frac{(- 3) + 2}{(- 3) - 3}$

解题步骤 1.7.3

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.7.3.1

将 $- 3$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{- 1}{- 3 - 3}$

解题步骤 1.7.3.2

从 $- 3$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{- 1}{- 6}$

解题步骤 1.7.4

将两个负数相除得到一个正数。

$- \frac{1}{6}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{1}{6}$ 和给定点 $(- 3, - 3)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 3) = - \frac{1}{6} \cdot (x - (- 3))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 3 = - \frac{1}{6} \cdot (x + 3)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{1}{6} \cdot (x + 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + 3 = 0 + 0 - \frac{1}{6} \cdot (x + 3)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 3 = - \frac{1}{6} \cdot (x + 3)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + 3 = - \frac{1}{6} x - \frac{1}{6} \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$y + 3 = - \frac{x}{6} - \frac{1}{6} \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- \frac{1}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$y + 3 = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{6} \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + 3 = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{3 (2)} \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.5.3

约去公因数。

$y + 3 = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{3 \cdot 2} \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.5.4

重写表达式。

$y + 3 = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y + 3 = - \frac{x}{6} - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{2} - 3$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 1 - 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 1 - 6}{2}$

解题步骤 2.3.2.5.2

从 $- 1$ 中减去 $6$ 。

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x}{6} - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{1}{6} x) - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{6} x - \frac{7}{2}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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