微积分学示例

$y = e^{3 x}$ at $x = \frac{1}{3} \ln (2)$

解题步骤 1

求 $x = \frac{1}{3} \cdot \ln (2)$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $\frac{1}{3} \cdot \ln (2)$ 替换 $x$ 。

$y = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (2))}$

解题步骤 1.2

化简 $e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (2))}$ 。

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解题步骤 1.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{3} \ln (2)$ 。

$y = e^{3 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ 。

$y = e^{\ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

解题步骤 1.2.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$y = {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 1.2.4

将 ${(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去公因数。

$y = 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.2.2

重写表达式。

$y = 2^{1}$

解题步骤 1.2.5

计算指数。

$y = 2$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = \frac{1}{3} \ln (2)$ 和 $y = 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.1.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{3 x} (3 \cdot 1)$

解题步骤 2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{3 x} \cdot 3$

解题步骤 2.2.3.2

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$3 e^{3 x}$

解题步骤 2.3

计算在 $x = \frac{1}{3} \cdot \ln (2)$ 处的导数。

$3 e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (2))}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{3} \ln (2)$ 。

$3 e^{3 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 2.4.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ 。

$3 e^{\ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

解题步骤 2.4.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$3 {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 2.4.4

将 ${(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 2.4.4.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.4.2.1

约去公因数。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 2.4.4.2.2

重写表达式。

$3 \cdot 2^{1}$

解题步骤 2.4.5

计算指数。

$3 \cdot 2$

解题步骤 2.4.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $6$ 和给定点 $(\frac{1}{3} \cdot \ln (2), 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2) = 6 \cdot (x - (\frac{1}{3} \cdot \ln (2)))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 = 6 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{3}}))$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $6 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 2 = 0 + 0 + 6 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{3}}))$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 2 = 6 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{3}}))$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 2 = 6 x + 6 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$

解题步骤 3.3.1.4

乘以 $6 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ 。

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解题步骤 3.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$y - 2 = 6 x - 6 \ln (2^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 3.3.1.4.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 6 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ 。

$y - 2 = 6 x - \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{6})$

解题步骤 3.3.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.5.1

将 ${(2^{\frac{1}{3}})}^{6}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y - 2 = 6 x - \ln (2^{\frac{1}{3} \cdot 6})$

解题步骤 3.3.1.5.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.5.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y - 2 = 6 x - \ln (2^{\frac{1}{3} \cdot (3 (2))})$

解题步骤 3.3.1.5.1.2.2

约去公因数。

$y - 2 = 6 x - \ln (2^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 2)})$

解题步骤 3.3.1.5.1.2.3

重写表达式。

$y - 2 = 6 x - \ln (2^{2})$

解题步骤 3.3.1.5.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y - 2 = 6 x - \ln (4)$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = 6 x - \ln (4) + 2$

解题步骤 4

微积分学 示例

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