微积分学示例

$y = \cos (3 x)$ , $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{4}$ 和 $y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

解题步骤 1.2.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 \sin (3 x)$

解题步骤 1.3

计算在 $x = \frac{π}{4}$ 处的导数。

$- 3 \sin (3 (\frac{π}{4}))$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{π}{4}$ 。

$- 3 \sin (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 1.4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 3 \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.4.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 和给定点 $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 。

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3.1.5

乘以 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + 1 \frac{3 \sqrt{2}}{2} \frac{π}{4}$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

解题步骤 2.3.1.5.3

将 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{π}{4}$ 。

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.1.5.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

解题步骤 2.3.1.6

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

要将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.3.3.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

解题步骤 2.3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

解题步骤 2.3.3.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 2.3.3.5

重新排序项。

$y = - (\frac{3 \sqrt{2}}{2} x) + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 2.3.3.6

去掉圆括号。

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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