微积分学示例

$f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ ; $x = 1$

解题步骤 1

求 $x = 1$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = \frac{5}{{(1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = \frac{5}{1^{2}}$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = \frac{5}{{(1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

化简 $\frac{5}{{(1)}^{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{5}{1}$

解题步骤 1.2.3.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$y = 5$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 5$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$5 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 2.4

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$- 10 x^{- 3}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 10 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.5.2

合并项。

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解题步骤 2.5.2.1

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{- 10}{x^{3}}$

解题步骤 2.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10}{x^{3}}$

解题步骤 2.6

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- \frac{10}{{(1)}^{3}}$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{10}{1}$

解题步骤 2.7.2

用 $10$ 除以 $1$ 。

$- 1 \cdot 10$

解题步骤 2.7.3

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- 10$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- 10$ 和给定点 $(1, 5)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (5) = - 10 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 5 = - 10 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- 10 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 5 = 0 + 0 - 10 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 5 = - 10 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 5 = - 10 x - 10 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 10$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 5 = - 10 x + 10$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$y = - 10 x + 10 + 5$

解题步骤 3.3.2.2

将 $10$ 和 $5$ 相加。

$y = - 10 x + 15$

解题步骤 4

微积分学 示例

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