微积分学示例

$y = \frac{14}{(1 + e^{- x})}$ , $(0, 7)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 7$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{14}{1 + e^{- x}}$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ 。

$14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ 重写为 ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ 。

$14 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 1 + e^{- x}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + e^{- x}$ 。

$14 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$14 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

解题步骤 1.2.3

使用 $1 + e^{- x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$14 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $14$ 。

$- 14 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $1 + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 1.3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 相加。

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.5

求微分。

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解题步骤 1.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 14$ 。

$14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

解题步骤 1.5.4

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

重新排序 $14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ 的因式。

$14 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

解题步骤 1.6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$14 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 1.6.3

乘以 $14 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ 。

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解题步骤 1.6.3.1

组合 $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ 和 $14$ 。

$\frac{14}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

解题步骤 1.6.3.2

组合 $\frac{14}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ 和 $e^{- x}$ 。

$\frac{14 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 1.7

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$\frac{14 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

解题步骤 1.8

化简。

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解题步骤 1.8.1

化简分子。

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解题步骤 1.8.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{14 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

解题步骤 1.8.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{14 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

解题步骤 1.8.2

化简分母。

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解题步骤 1.8.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{14 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.8.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{14 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.8.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{14 \cdot 1}{2^{2}}$

解题步骤 1.8.2.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{14 \cdot 1}{4}$

解题步骤 1.8.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.8.3.1

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$\frac{14}{4}$

解题步骤 1.8.3.2

约去 $14$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.3.2.1

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (7)}{4}$

解题步骤 1.8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.8.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.8.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.8.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{7}{2}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{7}{2}$ 和给定点 $(0, 7)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (7) = \frac{7}{2} \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 7 = \frac{7}{2} \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{7}{2} \cdot (x + 0)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - 7 = \frac{7}{2} \cdot x$

解题步骤 2.3.1.2

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $x$ 。

$y - 7 = \frac{7 x}{2}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$y = \frac{7 x}{2} + 7$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{7}{2} x + 7$

解题步骤 3

微积分学 示例

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