微积分学示例

$y = \frac{e^{6 x}}{x}$ , $(\frac{1}{6}, 6 e)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{1}{6}$ 和 $y = 6 e$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{6 x}$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 x$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (e^{6 x} (6 \cdot 1)) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x (e^{6 x} \cdot 6) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2

将 $6$ 移到 $e^{6 x}$ 的左侧。

$\frac{x (6 \cdot e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (6 e^{6 x}) - e^{6 x} \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x (6 e^{6 x}) - e^{6 x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 x e^{6 x} - e^{6 x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.2

重新排序项。

$\frac{6 e^{6 x} x - e^{6 x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.3

从 $6 e^{6 x} x - e^{6 x}$ 中分解出因数 $e^{6 x}$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

从 $6 e^{6 x} x$ 中分解出因数 $e^{6 x}$ 。

$\frac{e^{6 x} (6 x) - e^{6 x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2

从 $- e^{6 x}$ 中分解出因数 $e^{6 x}$ 。

$\frac{e^{6 x} (6 x) + e^{6 x} \cdot - 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.3.3

从 $e^{6 x} (6 x) + e^{6 x} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{6 x}$ 。

$\frac{e^{6 x} (6 x - 1)}{x^{2}}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = \frac{1}{6}$ 处的导数。

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} (6 (\frac{1}{6}) - 1)}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.6.1.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} (6 (\frac{1}{6}) - 1)}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.1.2

重写表达式。

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} (1 - 1)}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} \cdot 0}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.3

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} \cdot 0}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{e^{1} \cdot 0}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.4

化简。

$\frac{e \cdot 0}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

解题步骤 1.6.2

化简分母。

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解题步骤 1.6.2.1

对 $\frac{1}{6}$ 运用乘积法则。

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1^{2}}{6^{2}}}$

解题步骤 1.6.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{6^{2}}}$

解题步骤 1.6.2.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{36}}$

解题步骤 1.6.3

将 $e$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{\frac{1}{36}}$

解题步骤 1.6.4

将分子乘以分母的倒数。

$0 \cdot 36$

解题步骤 1.6.5

将 $0$ 乘以 $36$ 。

$0$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $0$ 和给定点 $(\frac{1}{6}, 6 e)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (6 e) = 0 \cdot (x - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 6 e = 0 \cdot (x - \frac{1}{6})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $0$ 乘以 $x - \frac{1}{6}$ 。

$y - 6 e = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $6 e$ 。

$y = 6 e$

解题步骤 3

微积分学 示例

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