微积分学示例

$f (x) = 2 + \ln (x)$ ; $x = 1$

解题步骤 1

求 $x = 1$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = 2 + \ln (1)$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 + \ln (1)$

解题步骤 1.2.2

化简 $2 + \ln (1)$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$y = 2 + 0$

解题步骤 1.2.2.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$y = 2$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $2 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$0 + \frac{1}{x}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{1}{x}$ 相加。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 2.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 2.5

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $1$ 和给定点 $(1, 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2) = 1 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 = 1 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$y - 2 = x - 1$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = x - 1 + 2$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$y = x + 1$

解题步骤 4

微积分学 示例

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