微积分学示例

$f (x) = 9 - x^{2}$ , $(3, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 3$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $9 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 1.3

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 3$ 处的导数。

$- 2 \cdot 3$

解题步骤 1.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 6$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 6$ 和给定点 $(3, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = - 6 \cdot (x - (3))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = - 6 \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = - 6 \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.2

化简 $- 6 \cdot (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$y = - 6 x - 6 \cdot - 3$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 6$ 乘以 $- 3$ 。

$y = - 6 x + 18$

解题步骤 3

微积分学 示例

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