微积分学示例

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$ , $(9, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 9$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

重写带有理指数的左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 4$

解题步骤 1.1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 4$

解题步骤 1.2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 1.3

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.3.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.3.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

解题步骤 1.3.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

解题步骤 1.3.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

解题步骤 1.3.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

解题步骤 1.3.3.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

解题步骤 1.3.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

解题步骤 1.3.3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

解题步骤 1.3.3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

解题步骤 1.3.3.9

组合 $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $y'$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

解题步骤 1.3.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.3.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.3.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 1.6

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.6.2

两边同时乘以 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.6.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.3.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.3.1.1

化简 $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.3.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.6.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.3.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.6.3.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.6.3.1.1.3

约去 $y^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.3.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.6.3.1.1.3.2

重写表达式。

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.6.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.3.2.1

化简 $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.3.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.3.2.1.1.1

将 $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.6.3.2.1.1.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.6.3.2.1.1.3

从 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 (y^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 1.6.3.2.1.1.4

约去公因数。

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.6.3.2.1.1.5

重写表达式。

$y' = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.6.3.2.1.2

组合 $\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.6.3.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.8

计算 $x = 9$ 和 $y = 1$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$- \frac{y^{\frac{1}{2}}}{{(9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.8.2

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $y$ 。

$- \frac{{(1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.8.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.8.4

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.4.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- \frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.8.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 1.8.4.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.4.3.1

约去公因数。

$- \frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 1.8.4.3.2

重写表达式。

$- \frac{1}{3^{1}}$

解题步骤 1.8.4.4

计算指数。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{1}{3}$ 和给定点 $(9, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = - \frac{1}{3} \cdot (x - (9))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = - \frac{1}{3} \cdot (x - 9)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{1}{3} \cdot (x - 9)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{3} \cdot (x - 9)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = - \frac{1}{3} \cdot (x - 9)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot - 9$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 9$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot - 9$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 3))$

解题步骤 2.3.1.5.3

约去公因数。

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.3.1.5.4

重写表达式。

$y - 1 = - \frac{x}{3} - 1 \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{3} + 3$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = - \frac{x}{3} + 3 + 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$y = - \frac{x}{3} + 4$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{1}{3} x) + 4$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{3} x + 4$

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例