微积分学示例

$f (x) = (- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 x + 3)$ , $x = 0$

解题步骤 1

求 $x = 0$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = (- 5 \cdot 0^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

解题步骤 1.2.3

化简 $(- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = (- 5 \cdot 0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

解题步骤 1.2.3.1.2

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$y = (0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

解题步骤 1.2.3.1.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$y = (0 + 0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

解题步骤 1.2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = (0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

解题步骤 1.2.3.2.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$y = - 2 (- 2 \cdot 0 + 3)$

解题步骤 1.2.3.2.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$y = - 2 (0 + 3)$

解题步骤 1.2.3.2.4

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$y = - 2 \cdot 3$

解题步骤 1.2.3.2.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$y = - 6$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = - 6$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 5 x^{2} + 5 x - 2$ 且 $g (x) = - 2 x + 3$ 。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \frac{d}{d x} [- 2 x + 3] + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $- 2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

解题步骤 2.2.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

解题步骤 2.2.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

解题步骤 2.2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + 0) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

解题步骤 2.2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \cdot - 2 + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

解题步骤 2.2.6.2

将 $- 2$ 移到 $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ 的左侧。

$- 2 \cdot (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

解题步骤 2.2.7

根据加法法则， $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.2.8

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.2.10

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.2.11

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.2.13

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.2.14

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + 0)$

解题步骤 2.2.15

将 $- 10 x + 5$ 和 $0$ 相加。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

解题步骤 2.3.3

运用分配律。

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

解题步骤 2.3.4

运用分配律。

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

解题步骤 2.3.5

合并项。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$10 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

解题步骤 2.3.5.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$10 x^{2} - 10 x - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

解题步骤 2.3.5.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$10 x^{2} - 10 x + 4 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

解题步骤 2.3.5.4

将 $- 10$ 乘以 $- 2$ 。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x \cdot x + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

解题步骤 2.3.5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

解题步骤 2.3.5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x^{1}) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

解题步骤 2.3.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{1 + 1} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

解题步骤 2.3.5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

解题步骤 2.3.5.9

将 $- 10$ 乘以 $3$ 。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

解题步骤 2.3.5.10

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 3 \cdot 5$

解题步骤 2.3.5.11

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 15$

解题步骤 2.3.5.12

从 $- 30 x$ 中减去 $10 x$ 。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 40 x + 15$

解题步骤 2.3.5.13

将 $10 x^{2}$ 和 $20 x^{2}$ 相加。

$30 x^{2} - 10 x + 4 - 40 x + 15$

解题步骤 2.3.5.14

从 $- 10 x$ 中减去 $40 x$ 。

$30 x^{2} - 50 x + 4 + 15$

解题步骤 2.3.5.15

将 $4$ 和 $15$ 相加。

$30 x^{2} - 50 x + 19$

解题步骤 2.4

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$30 {(0)}^{2} - 50 \cdot 0 + 19$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$30 \cdot 0 - 50 \cdot 0 + 19$

解题步骤 2.5.1.2

将 $30$ 乘以 $0$ 。

$0 - 50 \cdot 0 + 19$

解题步骤 2.5.1.3

将 $- 50$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 19$

解题步骤 2.5.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 19$

解题步骤 2.5.2.2

将 $0$ 和 $19$ 相加。

$19$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $19$ 和给定点 $(0, - 6)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 6) = 19 \cdot (x - (0))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 6 = 19 \cdot (x + 0)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y + 6 = 19 x$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$y = 19 x - 6$

解题步骤 4

微积分学 示例

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