微积分学示例

$y = 4 x \sin (x)$ , $(\frac{π}{2}, 2 π)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{2}$ 和 $y = 2 π$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

解题步骤 1.4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 (x \cos (x) + \sin (x))$

解题步骤 1.5

运用分配律。

$4 x \cos (x) + 4 \sin (x)$

解题步骤 1.6

计算在 $x = \frac{π}{2}$ 处的导数。

$4 (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2}) + 4 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 4 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.7.1.1.2

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 4 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.7.1.1.3

重写表达式。

$2 π \cos (\frac{π}{2}) + 4 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.7.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$2 π \cdot 0 + 4 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.7.1.3

乘以 $2 π \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.7.1.3.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$0 π + 4 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.7.1.3.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$0 + 4 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.7.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 4 \cdot 1$

解题步骤 1.7.1.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$0 + 4$

解题步骤 1.7.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$4$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $4$ 和给定点 $(\frac{π}{2}, 2 π)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2 π) = 4 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 π = 4 \cdot (x - \frac{π}{2})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $4 \cdot (x - \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 2 π = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \frac{π}{2})$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 2 π = 4 \cdot (x - \frac{π}{2})$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 2 π = 4 x + 4 (- \frac{π}{2})$

解题步骤 2.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 2 π = 4 x + 4 \frac{- π}{2}$

解题步骤 2.3.1.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 2 π = 4 x + 2 (2) \frac{- π}{2}$

解题步骤 2.3.1.4.3

约去公因数。

$y - 2 π = 4 x + 2 \cdot 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 2.3.1.4.4

重写表达式。

$y - 2 π = 4 x + 2 (- π)$

解题步骤 2.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y - 2 π = 4 x - 2 π$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $2 π$ 。

$y = 4 x - 2 π + 2 π$

解题步骤 2.3.2.2

合并 $4 x - 2 π + 2 π$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $- 2 π$ 和 $2 π$ 相加。

$y = 4 x + 0$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$y = 4 x$

解题步骤 3

微积分学 示例

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