微积分学示例

$f (x) = x^{2} - 2$ at $(2, 2)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{2} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$2 (2)$

解题步骤 1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $4$ 和给定点 $(2, 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2) = 4 \cdot (x - (2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 = 4 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $4 \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 2 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 2 = 4 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 2 = 4 x + 4 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.4

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$y - 2 = 4 x - 8$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = 4 x - 8 + 2$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 8$ 和 $2$ 相加。

$y = 4 x - 6$

解题步骤 3

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