微积分学示例

$f (x) = 8 \ln (x)$ at $x = 1$

解题步骤 1

求 $x = 1$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = 8 \ln (1)$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 8 \ln (1)$

解题步骤 1.2.2

化简 $8 \ln (1)$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$y = 8 \cdot 0$

解题步骤 1.2.2.2

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$8 \frac{1}{x}$

解题步骤 2.3

组合 $8$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{8}{x}$

解题步骤 2.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{8}{1}$

解题步骤 2.5

用 $8$ 除以 $1$ 。

$8$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $8$ 和给定点 $(1, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = 8 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = 8 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = 8 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.2

化简 $8 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

运用分配律。

$y = 8 x + 8 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 8 x - 8$

解题步骤 4

微积分学 示例

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