微积分学示例

$f (x) = e^{x^{5} - 1}$ at $x = 1$

解题步骤 1

求 $x = 1$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = e^{{(1)}^{5} - 1}$

解题步骤 1.2

化简 $e^{{(1)}^{5} - 1}$ 。

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解题步骤 1.2.1

一的任意次幂都为一。

$y = e^{1 - 1}$

解题步骤 1.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$y = e^{0}$

解题步骤 1.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{5} - 1$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{5} - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5} - 1]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5} - 1]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x^{5} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x^{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} - 1]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x^{5} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$e^{x^{5} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$e^{x^{5} - 1} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x^{5} - 1} (5 x^{4} + 0)$

解题步骤 2.2.4

将 $5 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x^{5} - 1} (5 x^{4})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

重新排序 $e^{x^{5} - 1} (5 x^{4})$ 的因式。

$5 e^{x^{5} - 1} x^{4}$

解题步骤 2.3.2

将 $5 e^{x^{5} - 1} x^{4}$ 中的因式重新排序。

$5 x^{4} e^{x^{5} - 1}$

解题步骤 2.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$5 {(1)}^{4} e^{{(1)}^{5} - 1}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

一的任意次幂都为一。

$5 \cdot 1 e^{{(1)}^{5} - 1}$

解题步骤 2.5.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 e^{{(1)}^{5} - 1}$

解题步骤 2.5.3

一的任意次幂都为一。

$5 e^{1 - 1}$

解题步骤 2.5.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$5 e^{0}$

解题步骤 2.5.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 2.5.6

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $5$ 和给定点 $(1, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = 5 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = 5 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $5 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = 5 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = 5 x + 5 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = 5 x - 5$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 5 x - 5 + 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 5$ 和 $1$ 相加。

$y = 5 x - 4$

解题步骤 4

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