微积分学示例

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$ at $(- 5, \frac{1}{6})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 5$ 和 $y = \frac{1}{6}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{x - 1}$ 重写为 ${(x - 1)}^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.2

将 ${(x - 1)}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

${(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

${(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

${(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(x - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.6

化简表达式。

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解题步骤 1.4.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

${(x - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.6.2

将 ${(x - 1)}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \cdot 0$

解题步骤 1.4.8

化简表达式。

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解题步骤 1.4.8.1

将 $\frac{1}{x - 1}$ 乘以 $0$ 。

${(x - 1)}^{- 2} + 0$

解题步骤 1.4.8.2

将 ${(x - 1)}^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

${(x - 1)}^{- 2}$

解题步骤 1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.6

计算在 $x = - 5$ 处的导数。

$\frac{1}{{((- 5) - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.7

化简分母。

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解题步骤 1.7.1

从 $- 5$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{{(- 6)}^{2}}$

解题步骤 1.7.2

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{36}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{1}{36}$ 和给定点 $(- 5, \frac{1}{6})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{1}{36} \cdot (x - (- 5))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{1}{36} \cdot (x + 5)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} x + \frac{1}{36} \cdot 5$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{1}{36}$ 和 $x$ 。

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{1}{36} \cdot 5$

解题步骤 2.3.1.5

组合 $\frac{1}{36}$ 和 $5$ 。

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{5}{36}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{6}$ 。

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6}$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $\frac{1}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

解题步骤 2.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

解题步骤 2.3.2.3.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x}{36} + \frac{5 + 6}{36}$

解题步骤 2.3.2.5

将 $5$ 和 $6$ 相加。

$y = \frac{x}{36} + \frac{11}{36}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{1}{36} x + \frac{11}{36}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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