微积分学示例

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{2}$ 和 $y = \frac{π}{2}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1.1

将 $x^{\sin (x)}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

解题步骤 1.1.2

通过将 $\sin (x)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\sin (x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x) \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

解题步骤 1.2.3

使用 $\sin (x) \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

解题步骤 1.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.5

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

运用分配律。

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

解题步骤 1.7.2

组合 $e^{\sin (x) \ln (x)}$ 和 $\frac{\sin (x)}{x}$ 。

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

解题步骤 1.7.3

重新排序项。

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

解题步骤 1.8

计算在 $x = \frac{π}{2}$ 处的导数。

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 1.9

化简。

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解题步骤 1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 1.9.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 1.9.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $1 \ln (\frac{π}{2})$ 。

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 1.9.1.3

指数函数和对数函数互为反函数。

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 1.9.1.4

化简。

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 1.9.1.5

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 1.9.1.6

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 1.9.1.7

将 $0$ 乘以 $\ln (\frac{π}{2})$ 。

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 1.9.1.8

将分子乘以分母的倒数。

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

解题步骤 1.9.1.9

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

解题步骤 1.9.1.10

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $1 \ln (\frac{π}{2})$ 。

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

解题步骤 1.9.1.11

指数函数和对数函数互为反函数。

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

解题步骤 1.9.1.12

化简。

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

解题步骤 1.9.1.13

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

解题步骤 1.9.1.14

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

解题步骤 1.9.1.15

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.1.15.1

约去公因数。

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

解题步骤 1.9.1.15.2

重写表达式。

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

解题步骤 1.9.1.16

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.1.16.1

约去公因数。

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

解题步骤 1.9.1.16.2

重写表达式。

$0 + 1$

解题步骤 1.9.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $1$ 和给定点 $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x - \frac{π}{2}$ 乘以 $1$ 。

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.3.2.2

合并 $x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $- \frac{π}{2}$ 和 $\frac{π}{2}$ 相加。

$y = x + 0$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y = x$

解题步骤 3

微积分学 示例

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