微积分学示例

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{3}$ ; $x = 1$

解题步骤 1

求 $x = 1$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{3}$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$

解题步骤 1.2.3

化简 ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$y = 1 {(3 - (1))}^{3}$

解题步骤 1.2.3.2

将 ${(3 - (1))}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$y = {(3 - (1))}^{3}$

解题步骤 1.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = {(3 - 1)}^{3}$

解题步骤 1.2.3.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$y = 2^{3}$

解题步骤 1.2.3.5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 8$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 8$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = {(3 - x)}^{3}$ 。

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{3}] + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 3 - x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 - x$ 。

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $3 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $3 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2} \cdot 1) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.3.7

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + {(3 - x)}^{3} (4 x^{3})$

解题步骤 2.3.9

将 $4$ 移到 ${(3 - x)}^{3}$ 的左侧。

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + 4 \cdot {(3 - x)}^{3} x^{3}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

从 $x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + 4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

从 $x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2})$ 中分解出因数 $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ 。

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$

解题步骤 2.4.1.2

从 $4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ 。

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x^{3} {(3 - x)}^{2} (4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.1.3

从 $x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x^{3} {(3 - x)}^{2} (4 (3 - x))$ 中分解出因数 $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ 。

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.3

将 ${(3 - x)}^{2}$ 重写为 $(3 - x) (3 - x)$ 。

$x^{3} ((3 - x) (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(3 - x) (3 - x)$ 。

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解题步骤 2.4.4.1

运用分配律。

$x^{3} (3 (3 - x) - x (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.4.2

运用分配律。

$x^{3} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.4.3

运用分配律。

$x^{3} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.5.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.5.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.5.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.5.1.5.1

移动 $x$ 。

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.5.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.5.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.5.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x + x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.5.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$x^{3} (9 - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.6

运用分配律。

$(x^{3} \cdot 9 + x^{3} (- 6 x) + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.7

化简。

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解题步骤 2.4.7.1

将 $9$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$(9 \cdot x^{3} + x^{3} (- 6 x) + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.7.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.7.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{3 + 2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.7.3.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.8

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.8.1

移动 $x$ 。

$(9 x^{3} - 6 (x \cdot x^{3}) + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(9 x^{3} - 6 (x^{1} x^{3}) + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(9 x^{3} - 6 x^{1 + 3} + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.8.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

解题步骤 2.4.9

化简每一项。

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解题步骤 2.4.9.1

运用分配律。

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 4 \cdot 3 + 4 (- x))$

解题步骤 2.4.9.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 12 + 4 (- x))$

解题步骤 2.4.9.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 12 - 4 x)$

解题步骤 2.4.10

从 $- 3 x$ 中减去 $4 x$ 。

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 7 x + 12)$

解题步骤 2.4.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 7 x + 12)$ 。

$9 x^{3} (- 7 x) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12

化简每一项。

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解题步骤 2.4.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$9 \cdot - 7 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.12.2.1

移动 $x$ 。

$9 \cdot - 7 (x \cdot x^{3}) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.12.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 \cdot - 7 (x^{1} x^{3}) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 \cdot - 7 x^{1 + 3} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.2.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$9 \cdot - 7 x^{4} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.3

将 $9$ 乘以 $- 7$ 。

$- 63 x^{4} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.4

将 $12$ 乘以 $9$ 。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.5

使用乘法的交换性质重写。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{4} x - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.6

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.12.6.1

移动 $x$ 。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 (x \cdot x^{4}) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.4.12.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 (x^{1} x^{4}) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{1 + 4} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.6.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{5} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.7

将 $- 6$ 乘以 $- 7$ 。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.8

将 $12$ 乘以 $- 6$ 。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.9

使用乘法的交换性质重写。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{5} x + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.10

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.12.10.1

移动 $x$ 。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.10.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 2.4.12.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.10.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{6} + x^{5} \cdot 12$

解题步骤 2.4.12.11

将 $12$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{6} + 12 x^{5}$

解题步骤 2.4.13

从 $- 63 x^{4}$ 中减去 $72 x^{4}$ 。

$- 135 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 7 x^{6} + 12 x^{5}$

解题步骤 2.4.14

将 $42 x^{5}$ 和 $12 x^{5}$ 相加。

$- 135 x^{4} + 108 x^{3} - 7 x^{6} + 54 x^{5}$

解题步骤 2.5

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- 135 {(1)}^{4} + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1.1

一的任意次幂都为一。

$- 135 \cdot 1 + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

解题步骤 2.6.1.2

将 $- 135$ 乘以 $1$ 。

$- 135 + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

解题步骤 2.6.1.3

一的任意次幂都为一。

$- 135 + 108 \cdot 1 - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $108$ 乘以 $1$ 。

$- 135 + 108 - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

解题步骤 2.6.1.5

一的任意次幂都为一。

$- 135 + 108 - 7 \cdot 1 + 54 {(1)}^{5}$

解题步骤 2.6.1.6

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$- 135 + 108 - 7 + 54 {(1)}^{5}$

解题步骤 2.6.1.7

一的任意次幂都为一。

$- 135 + 108 - 7 + 54 \cdot 1$

解题步骤 2.6.1.8

将 $54$ 乘以 $1$ 。

$- 135 + 108 - 7 + 54$

解题步骤 2.6.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $- 135$ 和 $108$ 相加。

$- 27 - 7 + 54$

解题步骤 2.6.2.2

从 $- 27$ 中减去 $7$ 。

$- 34 + 54$

解题步骤 2.6.2.3

将 $- 34$ 和 $54$ 相加。

$20$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $20$ 和给定点 $(1, 8)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (8) = 20 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 8 = 20 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $20 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 8 = 0 + 0 + 20 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 8 = 20 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 8 = 20 x + 20 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4

将 $20$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 8 = 20 x - 20$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$y = 20 x - 20 + 8$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 20$ 和 $8$ 相加。

$y = 20 x - 12$

解题步骤 4

微积分学 示例

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