微积分学示例

$y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2} = 0$ , $(0, 4)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 4$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y^{2}$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.5.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.8

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.9

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$2 \cdot y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.10

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 y$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - (2 x)$

解题步骤 1.2.4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - 2 x$

解题步骤 1.2.5

化简。

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解题步骤 1.2.5.1

重新排序项。

$2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$

解题步骤 1.2.5.2

将 $2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$ 中的因式重新排序。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$

解题步骤 1.3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y' = 0$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

将 $2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$ 中的因式重新排序。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = 0$

解题步骤 1.5.2

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.5.2.1

从等式两边同时减去 $2 y^{2} e^{2 x}$ 。

$2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x}$

解题步骤 1.5.2.2

在等式两边都加上 $2 x$ 。

$2 y y' e^{2 x} - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

解题步骤 1.5.3

从 $2 y y' e^{2 x} - 4 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 1.5.3.1

从 $2 y y' e^{2 x}$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y e^{2 x}) - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

解题步骤 1.5.3.2

从 $- 4 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2 = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

解题步骤 1.5.3.3

从 $2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

解题步骤 1.5.4

将 $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ 中的每一项除以 $2 (y e^{2 x} - 2)$ 并化简。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ 中的每一项都除以 $2 (y e^{2 x} - 2)$ 。

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

解题步骤 1.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

解题步骤 1.5.4.2.2

约去 $y e^{2 x} - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

解题步骤 1.5.4.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

解题步骤 1.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.3.1.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.3.1.1.1

从 $- 2 y^{2} e^{2 x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

解题步骤 1.5.4.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.4.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

解题步骤 1.5.4.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

解题步骤 1.5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

解题步骤 1.5.4.3.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.3.1.3.1

约去公因数。

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

解题步骤 1.5.4.3.1.3.2

重写表达式。

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{x}{y e^{2 x} - 2}$

解题步骤 1.5.4.3.2

化简项。

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解题步骤 1.5.4.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x} + x}{y e^{2 x} - 2}$

解题步骤 1.5.4.3.2.2

从 $- y^{2} e^{2 x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) + x}{y e^{2 x} - 2}$

解题步骤 1.5.4.3.2.3

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)}{y e^{2 x} - 2}$

解题步骤 1.5.4.3.2.4

从 $- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

解题步骤 1.5.4.3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 1.5.4.3.2.5.1

将 $- (y^{2} e^{2 x} - x)$ 重写为 $- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)$ 。

$y' = \frac{- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

解题步骤 1.5.4.3.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 0$ 和 $y = 4$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$- \frac{y^{2} e^{2 (0)} - (0)}{y e^{2 (0)} - 2}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $y$ 。

$- \frac{{(4)}^{2} e^{2 (0)} - (0)}{(4) \cdot e^{2 (0)} - 2}$

解题步骤 1.7.3

化简分子。

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解题步骤 1.7.3.1

将 $4^{2} e^{2 (0)}$ 重写为 ${(4 e^{0})}^{2}$ 。

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - (0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

解题步骤 1.7.3.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - 0^{2}}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

解题步骤 1.7.3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4 e^{0}$ 和 $b = 0$ 。

$- \frac{(4 e^{0} + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

解题步骤 1.7.3.4

化简。

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解题步骤 1.7.3.4.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{(4 \cdot 1 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

解题步骤 1.7.3.4.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{(4 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

解题步骤 1.7.3.4.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{4 (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

解题步骤 1.7.3.4.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{4 (4 \cdot 1 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

解题步骤 1.7.3.4.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{4 (4 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

解题步骤 1.7.3.4.6

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

解题步骤 1.7.4

化简分母。

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解题步骤 1.7.4.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{0} - 2}$

解题步骤 1.7.4.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 1.7.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{4 \cdot 4}{4 - 2}$

解题步骤 1.7.4.4

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{4 \cdot 4}{2}$

解题步骤 1.7.5

化简表达式。

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解题步骤 1.7.5.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{16}{2}$

解题步骤 1.7.5.2

用 $16$ 除以 $2$ 。

$- 1 \cdot 8$

解题步骤 1.7.5.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 8$ 和给定点 $(0, 4)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - 4 = - 8 x$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$y = - 8 x + 4$

解题步骤 3

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