微积分学示例

$f (x) = - 3 \cos (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

解题步骤 1

求 $x = \frac{3}{4} \cdot π$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $\frac{3}{4} \cdot π$ 替换 $x$ 。

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

解题步骤 1.2.2

化简 $- 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $π$ 。

$y = - 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 1.2.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$y = - 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

解题步骤 1.2.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$y = - 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1.2.2.4

乘以 $- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 1.2.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$y = 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.2.4.2

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = \frac{3}{4} π$ 和 $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 3 (- \sin (x))$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$3 \sin (x)$

解题步骤 2.4

计算在 $x = \frac{3}{4} \cdot π$ 处的导数。

$3 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $π$ 。

$3 \sin (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 2.5.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$3 \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.5.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.5.4

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 和给定点 $(\frac{3}{4} \cdot π, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

解题步骤 3.3.1.4

组合 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 和 $x$ 。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

解题步骤 3.3.1.5

乘以 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$ 。

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解题步骤 3.3.1.5.1

将 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{3 π}{4}$ 。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} (3 π)}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.3.1.5.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.3.1.5.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8}$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 3.3.3.1

要将 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 3.3.3.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 3.3.3.2.1

将 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

解题步骤 3.3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

解题步骤 3.3.3.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 12 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 3.3.3.5

从 $- 9 \sqrt{2} π$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) + 12 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 3.3.3.6

从 $12 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 3.3.3.7

从 $- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 3.3.3.8

将 $- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ 重写为 $- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 3.3.3.9

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 3.3.3.10

重新排序项。

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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