微积分学示例

$f (x) = x^{3} {(3 - x)}^{4}$ ; $x = 2$

解题步骤 1

求 $x = 2$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 2^{3} {(3 - (2))}^{4}$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

解题步骤 1.2.3

化简 ${(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 8 {(3 - (2))}^{4}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = 8 {(3 - 2)}^{4}$

解题步骤 1.2.3.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$y = 8 \cdot 1^{4}$

解题步骤 1.2.3.4

一的任意次幂都为一。

$y = 8 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3.5

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$y = 8$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = 8$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = {(3 - x)}^{4}$ 。

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{4}] + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 3 - x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 - x$ 。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $3 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $3 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \cdot 1) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.7

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} (3 x^{2})$

解题步骤 2.3.9

将 $3$ 移到 ${(3 - x)}^{4}$ 的左侧。

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 \cdot {(3 - x)}^{4} x^{2}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

从 $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

从 $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3})$ 中分解出因数 $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ 。

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$

解题步骤 2.4.1.2

从 $3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ 。

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$

解题步骤 2.4.1.3

从 $x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$ 中分解出因数 $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ 。

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4) + 3 (3 - x))$

解题步骤 2.4.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (- 4 x + 3 (3 - x))$

解题步骤 2.5

计算在 $x = 2$ 处的导数。

${(2)}^{2} {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

解题步骤 2.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 {(3 - 2)}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

解题步骤 2.6.1.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$4 \cdot 1^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

解题步骤 2.6.1.4

一的任意次幂都为一。

$4 \cdot 1 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

解题步骤 2.6.1.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

解题步骤 2.6.2

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$4 (- 8 + 3 (3 - (2)))$

解题步骤 2.6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 (- 8 + 3 (3 - 2))$

解题步骤 2.6.2.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$4 (- 8 + 3 \cdot 1)$

解题步骤 2.6.2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 (- 8 + 3)$

解题步骤 2.6.3

化简表达式。

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解题步骤 2.6.3.1

将 $- 8$ 和 $3$ 相加。

$4 \cdot - 5$

解题步骤 2.6.3.2

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$- 20$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- 20$ 和给定点 $(2, 8)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (8) = - 20 \cdot (x - (2))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- 20 \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 8 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 8 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 20$ 乘以 $- 2$ 。

$y - 8 = - 20 x + 40$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$y = - 20 x + 40 + 8$

解题步骤 3.3.2.2

将 $40$ 和 $8$ 相加。

$y = - 20 x + 48$

解题步骤 4

微积分学 示例

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