微积分学示例

$y = - 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ ; $(1, - 2)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = - 2$ 的值，从而求切线的斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $- 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$- 9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3.6

在公分母上合并分子。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3.8

将负号移到分数的前面。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 9 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.3

重新排序项。

$- 9 x^{2} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.6

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- 9 {(1)}^{2} - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1.1

一的任意次幂都为一。

$- 9 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.7.1.2

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$- 9 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.7.1.3

一的任意次幂都为一。

$- 9 - \frac{2}{1} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.7.1.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- 9 - 1 \cdot 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.7.1.6

一的任意次幂都为一。

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.1.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 9 - 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.7.2

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.2.1

将 $- 9$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 9}{1} - 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.7.2.2

将 $\frac{- 9}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.7.2.3

将 $\frac{- 9}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.7.2.4

将 $- 2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.7.2.5

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.7.2.6

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.7.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 9 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 1.7.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.4.1

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 18 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 1.7.4.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 18 - 4 - 1}{2}$

解题步骤 1.7.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.5.1

从 $- 18$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 22 - 1}{2}$

解题步骤 1.7.5.2

从 $- 22$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 23}{2}$

解题步骤 1.7.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{23}{2}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{23}{2}$ 和给定点 $(1, - 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 2) = - \frac{23}{2} \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + 2 = 0 + 0 - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + 2 = - \frac{23}{2} x - \frac{23}{2} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{23}{2}$ 。

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} - \frac{23}{2} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.5

乘以 $- \frac{23}{2} \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + 1 (\frac{23}{2})$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $\frac{23}{2}$ 乘以 $1$ 。

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + \frac{23}{2}$

解题步骤 2.3.1.6

将 $23$ 移到 $x$ 的左侧。

$y + 2 = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.5.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 4}{2}$

解题步骤 2.3.2.5.2

从 $23$ 中减去 $4$ 。

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{19}{2}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{23}{2} x) + \frac{19}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{23}{2} x + \frac{19}{2}$

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例