微积分学示例

$y = x e^{- x^{2}}$ , $(0, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.7.2

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

解题步骤 1.9

将 $e^{- x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

解题步骤 1.10

化简。

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解题步骤 1.10.1

重新排序项。

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

解题步骤 1.10.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

解题步骤 1.11

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$- 2 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 1.12

化简。

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解题步骤 1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 1.12.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 2 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 1.12.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 1.12.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 e^{- 0} + e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 1.12.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{0} + e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 1.12.1.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1 + e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 1.12.1.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 1.12.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + e^{- 0}$

解题步骤 1.12.1.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + e^{0}$

解题步骤 1.12.1.9

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 1.12.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $1$ 和给定点 $(0, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = 1 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3.2

化简 $1 \cdot (x + 0)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x + 0$ 乘以 $1$ 。

$y = x + 0$

解题步骤 2.3.2.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y = x$

解题步骤 3

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