微积分学示例

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ , $(π, - 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = π$ 和 $y = - 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $1 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 相加。

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.8

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.9

乘。

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解题步骤 1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.9.2

将 $1 + \sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.10

化简。

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解题步骤 1.10.1

运用分配律。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.10.2

化简分子。

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解题步骤 1.10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.10.2.1.1

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.10.2.1.2

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.10.2.1.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.10.2.1.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.10.2.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.10.2.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.10.2.2

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.10.2.3

重新整理项。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.10.2.4

使用勾股恒等式。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.11

计算在 $x = π$ 处的导数。

$\frac{1 + \sin (π)}{\cos^{2} (π)}$

解题步骤 1.12

化简。

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解题步骤 1.12.1

化简分子。

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解题步骤 1.12.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1 + \sin (0)}{\cos^{2} (π)}$

解题步骤 1.12.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1 + 0}{\cos^{2} (π)}$

解题步骤 1.12.1.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\cos^{2} (π)}$

解题步骤 1.12.2

化简分母。

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解题步骤 1.12.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{1}{{(- \cos (0))}^{2}}$

解题步骤 1.12.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{{(- 1 \cdot 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 1.12.2.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 1.12.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 1.12.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 1.12.3.2

重写表达式。

$1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $1$ 和给定点 $(π, - 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (π))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 1 = 1 \cdot (x - π)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x - π$ 乘以 $1$ 。

$y + 1 = x - π$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = x - π - 1$

解题步骤 3

微积分学 示例

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