微积分学示例

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{2}$ ; $x = 1$

解题步骤 1

求 $x = 1$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{2}$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

解题步骤 1.2.3

化简 ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$y = 1 {(3 - (1))}^{2}$

解题步骤 1.2.3.2

将 ${(3 - (1))}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = {(3 - (1))}^{2}$

解题步骤 1.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = {(3 - 1)}^{2}$

解题步骤 1.2.3.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$y = 2^{2}$

解题步骤 1.2.3.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 4$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 4$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

将 ${(3 - x)}^{2}$ 重写为 $(3 - x) (3 - x)$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((3 - x) (3 - x))]$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 - x) (3 - x)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 (3 - x) - x (3 - x))]$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))]$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))]$

解题步骤 2.3.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - x (- x))]$

解题步骤 2.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

解题步骤 2.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

解题步骤 2.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})]$

解题步骤 2.3.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + x^{2})]$

解题步骤 2.3.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 6 x + x^{2})]$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 9 - 6 x + x^{2}$ 。

$x^{4} \frac{d}{d x} [9 - 6 x + x^{2}] + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $9 - 6 x + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{4} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.5.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.5.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 相加。

$x^{4} (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.5.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{4} (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.5.6

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} (- 6 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.5.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) (4 x^{3})$

解题步骤 2.5.9

将 $4$ 移到 $9 - 6 x + x^{2}$ 的左侧。

$x^{4} (- 6 + 2 x) + 4 \cdot (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + (4 \cdot 9 + 4 (- 6 x) + 4 x^{2}) x^{3}$

解题步骤 2.6.3

运用分配律。

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4

合并项。

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解题步骤 2.6.4.1

将 $- 6$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$- 6 \cdot x^{4} + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.4.2.1

移动 $x$ 。

$- 6 x^{4} + x \cdot x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.6.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 x^{4} + x^{1} x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 x^{4} + x^{1 + 4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4.2.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$- 6 x^{4} + x^{5} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4.3

将 $2$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$- 6 x^{4} + 2 \cdot x^{5} + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4.4

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4.5

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x \cdot x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.6.4.6.1

移动 $x^{3}$ 。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x) + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4.6.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.4.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{3 + 1} + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4.6.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{2} x^{3}$

解题步骤 2.6.4.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.6.4.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2})$

解题步骤 2.6.4.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2}$

解题步骤 2.6.4.7.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{5}$

解题步骤 2.6.4.8

从 $- 6 x^{4}$ 中减去 $24 x^{4}$ 。

$- 30 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 x^{5}$

解题步骤 2.6.4.9

将 $2 x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$- 30 x^{4} + 6 x^{5} + 36 x^{3}$

解题步骤 2.6.5

重新排序项。

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$

解题步骤 2.7

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$6 {(1)}^{5} - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

一的任意次幂都为一。

$6 \cdot 1 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

解题步骤 2.8.1.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

解题步骤 2.8.1.3

一的任意次幂都为一。

$6 - 30 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3}$

解题步骤 2.8.1.4

将 $- 30$ 乘以 $1$ 。

$6 - 30 + 36 {(1)}^{3}$

解题步骤 2.8.1.5

一的任意次幂都为一。

$6 - 30 + 36 \cdot 1$

解题步骤 2.8.1.6

将 $36$ 乘以 $1$ 。

$6 - 30 + 36$

解题步骤 2.8.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.8.2.1

从 $6$ 中减去 $30$ 。

$- 24 + 36$

解题步骤 2.8.2.2

将 $- 24$ 和 $36$ 相加。

$12$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $12$ 和给定点 $(1, 4)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (4) = 12 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $12 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 4 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 4 = 12 x + 12 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 4 = 12 x - 12$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$y = 12 x - 12 + 4$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 12$ 和 $4$ 相加。

$y = 12 x - 8$

解题步骤 4

微积分学 示例

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