微积分学示例

$g (x) = \frac{3 x}{x + 1}$ at $(2, 2)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x}{x + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$3 \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$3 \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

化简项。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$3 \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.5

组合 $3$ 和 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$\frac{3}{{((2) + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简分母。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3}{3^{2}}$

解题步骤 1.5.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3}{9}$

解题步骤 1.5.2

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1)}{9}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{1}{3}$ 和给定点 $(2, 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2) = \frac{1}{3} \cdot (x - (2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 2 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

解题步骤 2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y - 2 = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 6}{3}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $- 2$ 和 $6$ 相加。

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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