微积分学示例

$f (x) = - 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ at $x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 1

求 $x = - \frac{π}{4}$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $- \frac{π}{4}$ 替换 $x$ 。

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

解题步骤 1.2.2

化简 $- 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.2.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$y = - 5 \cot (\frac{7 π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

解题步骤 1.2.2.1.2

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余切在第四象限为负。

$y = - 5 (- \cot (\frac{π}{4})) - \frac{5 π}{2} - 4$

解题步骤 1.2.2.1.3

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$y = - 5 (- 1 \cdot 1) - \frac{5 π}{2} - 4$

解题步骤 1.2.2.1.4

乘以 $- 5 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = - 5 \cdot - 1 - \frac{5 π}{2} - 4$

解题步骤 1.2.2.1.4.2

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 5 - \frac{5 π}{2} - 4$

解题步骤 1.2.2.2

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$y = 1 - \frac{5 π}{2}$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = - \frac{π}{4}$ 和 $y = 1 - \frac{5 π}{2}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 。

$- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.2.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$- 5 (- \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$5 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- \frac{5 π}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5 π}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 \csc^{2} (x) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 \csc^{2} (x) + 0 + 0$

解题步骤 2.4

合并项。

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解题步骤 2.4.1

将 $5 \csc^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$5 \csc^{2} (x) + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $5 \csc^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$5 \csc^{2} (x)$

解题步骤 2.5

计算在 $x = - \frac{π}{4}$ 处的导数。

$5 \csc^{2} (- \frac{π}{4})$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$5 \csc^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 2.6.2

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余割在第四象限为负。

$5 {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

解题步骤 2.6.3

$\csc (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

$5 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 2.6.4

化简表达式。

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解题步骤 2.6.4.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

解题步骤 2.6.4.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$5 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

解题步骤 2.6.4.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$5 {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 2.6.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.6.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.6.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.6.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.6.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.5.4.1

约去公因数。

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.6.5.4.2

重写表达式。

$5 \cdot 2^{1}$

解题步骤 2.6.5.5

计算指数。

$5 \cdot 2$

解题步骤 2.6.6

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$10$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $10$ 和给定点 $(- \frac{π}{4}, 1 - \frac{5 π}{2})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1 - \frac{5 π}{2}) = 10 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $10 \cdot (x + \frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 0 + 0 + 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 10 \frac{π}{4}$

解题步骤 3.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.4.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 (5) \frac{π}{4}$

解题步骤 3.3.1.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.4.3

约去公因数。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.4.4

重写表达式。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 5 \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.1.5

组合 $5$ 和 $\frac{π}{2}$ 。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1$

解题步骤 3.3.2.2

从等式两边同时减去 $\frac{5 π}{2}$ 。

$y = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

合并 $10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.3.1

在公分母上合并分子。

$y = 10 x + \frac{5 π - 5 π}{2} + 1$

解题步骤 3.3.2.3.2

从 $5 π$ 中减去 $5 π$ 。

$y = 10 x + \frac{0}{2} + 1$

解题步骤 3.3.2.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$y = 10 x + 0 + 1$

解题步骤 3.3.2.5

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$y = 10 x + 1$

解题步骤 4

微积分学 示例

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